Лекции Тройной интеграл

    Скачать с Depositfiles 

Тройной интеграл.

Контрольные вопросы.

  1. Тройной интеграл, его свойства.

  2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

  3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

  4. Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.


Пусть функция f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой области V пространства R3. Разобьём область произвольным образом наn элементарных замкнутых областей V1, … , Vn, имеющих объемы V1, …, Vn соответственно. Обозначим – наибольший из диаметров областей V1, … , Vn. В каждой области Vk выберем произвольную точку P(xk , y, zk) и составим интегральную сумму функции f(xy, z)

S = 

Определение. Тройным интегралом от функции f(xy, z) по области называется предел интегральной суммы если он существует.

Таким образом,

(1)

Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области V и выбора точек Pk (k=1, …, n). Однако, если существует предел, то он не зависит от способа разбиения области и выбора точек Pk . Если сравнить определения двойного и тройного интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.

Достаточное условие существования тройного интеграла. Тройной интеграл (13) существует, если функция f(xy, z) ограничена в V и непрерывна в V, за исключением конечного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в .

В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые тройные интегралы существуют.



Некоторые свойства тройного интеграла.

1) Если С – числовая константа, то

3) Аддитивность по области. Если область V разбита на области V1 и V2, то

.

4) Объем тела V равен

(2)


Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.


Пусть  проекция тела на плоскость xOy, поверхности z=φ1(x, y), z=φ2(xy) ограничивают тело снизу и сверху соответственно. Это значит, что

V = {(xyz): (xy)Dφ1(x, y) ≤ z ≤ φ2(x, y)} .

Такое тело назовем z-цилиндрическим. Тройной интеграл (1) по z-цилиндрическому телу вычисляется переходом к повторному интегралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:





(3)

 


В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z, при этом xсчитаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции по области D.

Если  x-цилиндрическое или y-цилиндрическое тело, то верны соответственно формулы

В первой формуле  проекция тела на координатную плоскость yOzа во второй  на плоскость xOz

Примеры. 1) Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями z = 0, x+ y= 4, z = x+ y.

Решение. Вычислим объём при помощи тройного интеграла по формуле (2) 

Перейдем к повторному интегралу по формуле (3).

Пусть D  круг x+ y2  4, φ1(x, y) = 0, φ2(x, y)= x+ yТогда по формуле (3) получим

Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг преобразуется во множество

D={ (rφ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }.




 


2) Тело V ограничено поверхностями z=yz= –yx=0 , x=2, y=1. Вычислить 

Плоскости z = yz = –y ограничивают тело соответственно снизу и сверхуплоскости x=0 , x=ограничивают тело соответственно сзади и спереди, а плоскость y=ограничивает справа. V – z-цилиндрическое тело, его проекцией D на плоскость хОу является прямоугольник ОАВС. Положим φ1(x, y) –y, φ2(x, y)= y и применим формулу (3):