Лекции Вектор-функция скалярного аргумента

    Скачать с Depositfiles 
           ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

I. ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

  1. Вектор-функция (определение 1.1), способы её задания.

  2. Радиус-вектор и годограф, параметрическое задание годографа.

  3. Производная вектор-функции (определение 1.6).

  4. Геометрический смысл производной вектор-функции.

  5. Правила дифференцирования вектор-функций.

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Определение 1.1 Если каждому значению скалярного аргумента  поставлен в соответствие вектор  трехмерного пространства R3, то говорят, что на множестве Х задана вектор-функция (или векторная функция )  скалярного аргумента t.

Если в пространстве R3 задана декартова система координат Оxyz, то задание вектор — функции равносильно заданию трех скалярных функций х(t), y(t), z(t) – координат вектора :

={x(t), y(t), z(t)} (1.1)

или , (1.2)

где  — координатные орты.

1.2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛИНИЯ, КАК ГОДОГРАФ РАДИУСА-ВЕКТОРА

Определение 1.2 Если начало всех векторов помещено в начало координат, то они называются радиус–векторами.

Определение 1.3 Линия, являющаяся геометрическим местом концов радиусов-векторов , называется годографом вектор-функции , а их общее начало – полюсом годографа.

Если параметр t – время, а  — радиус-вектор движущейся точки, то годограф функции  является траекторией движущейся точки.

Уравнение годографа можно записать в векторной форме (1.2) или в параметрическом виде:

(1.3)

В частности, если вектор-функция  с изменением аргумента меняет только свой модуль, а направление не изменяет (), то годографом такой вектор- функции будет прямолинейный луч, исходящий из начала координат; если же меняется только направление вектора, а модуль его остается неизменным (), то годографом вектор-функции будет кривая, расположенная на сфере с центром в полюсе и радиусом, равным постоянному модулю вектора.

Рисунок 1.

1.3. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОР–ФУНКЦИИ

Определение 1.4 Вектор  называется пределом вектор-функции при , если

.(1.4)

Определение 1.5 Вектор-функция  называется непрерывной в точке t0, если она имеет в этой точке предел, равный значению вектор-функции в этой точке:

. (1.5)

Определение 1.6 Производной вектор-функции  в точке t называется предел отношения приращения вектор-функции к приращению аргумента  при :

(1.6)

1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ

Геометрический смысл первой производной вектор-функции скалярного аргумента заключается в том, что эта производная представляет собой новый вектор, направленный по касательной к годографу: . Покажем это.

Рисунок 2

Будем предполагать, что годограф рассматриваемой вектор-функции есть непрерывная линия, имеющая касательную в любой своей точке.

Дадим аргументу t приращение , тогда геометрически отношение  — это некоторый вектор , лежащий на секущей ММ’. При  этот вектор поворачивается и превращается в вектор , лежащий на касательной и направленный в сторону возрастания t. Таким образом, вектор

(1.7)

будет единичным вектором касательной, ориентированный в сторону возрастания параметра t.

Следовательно, вектор  можно взять в качестве направляющего вектора касательной к кривой  в точке ), (или ), и уравнение касательной записать в виде:

(1.8)

Если t – время, а  — радиус-вектор точки , движущейся в трёхмерном пространстве, то отношение  называется средней скоростью точки на отрезке [tt+t].

Механический смысл первой производной вектор-функции заключается в том, что эта производная представляет собой скорость точки М в момент t

Правила дифференцирования вектор-функций

  1. , т.е. при дифференцировании вектор-функции дифференцируются её координаты;

  2. , (где  — постоянный вектор, 0 – нулевой вектор);

  3. ;

  4. где  — постоянное число;

  5. где u – скалярная функция от t ;

  6. , где  – скалярное произведение;

  7. , где  – векторное произведение.

Докажем правило 1, пользуясь правилами вычитания векторов и деления вектора на число:

Доказательство остальных правил основываются на правиле 1 и правилах действий с векторами.

Пример 1.1: Дана вектор-функция Построить её годограф и составить уравнение ее касательной в произвольной точке.

Решение. Для любой точки (xyzгодографа вектор – функции имеем: x=acost;y=asintz=bt и поэтому при любом  выполняется равенство x2+y2=a2, а образующая параллельна оси Oz.Если параметр t интерпретировать как время, то при равномерном движении по окружности проекции конца радиус–вектора на плоскость Oxy его проекция на ось Ozбудет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью b.Иначе говоря, аппликата точки годографа вектор-функции растет пропорционально углу поворота ее проекции на плоскость Oxy. Поэтому искомый годограф будет иметь вид, изображенный на рис.3 и он называется винтовой линией. Для нахождения касательных к годографу (винтовой линии) найдем производную вектор–функции.

Рис. 3 По правилу 1:

Уравнение касательной к винтовой линии имеет вид

Если интерпретировать годограф вектор–функции как траекторию движущейся материальной точки, то ее скорость  равна ==,

т.е. является постоянной по величине. Постоянными являются также и ее проекции на плоскость Oхy и ось Oz.

Пример 1.Показать, что кривая  лежит на эллипсоиде.

Решение. Путём подстановки проверяется выполнение уравнения эллипсоида

Пример 1.3 Доказать, что если длина векторов  постоянна в окрестности точки  и существует производная , то векторы  и  — ортогональны.

Решение. Поскольку , то  и