Практическое занятие Вектор-функция скалярного аргумента

    Скачать с Depositfiles 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1 ПО ТЕМЕ:

Вектор-функция скалярного аргумента

(одна пара)

Контрольные вопросы:

  1. Вектор-функция (определение 1.1), способы её задания (формулы (1.1 и 1.2).

  2. Радиус-вектор и годограф (определения 1.2 и 1.3), параметрическое задание годографа (формула 1.3).

  3. Производная вектор-функции (определение 1.6).

  4. Геометрический смысл производной вектор-функции.

  5. Правила дифференцирования вектор-функций.

Решать следующие задачи, что не успеете – домашнее задание.

Пример 1. Составить уравнение поверхности, на которой лежит линия .

Решение.

Так как , то годограф лежит на цилиндрической поверхности с направляющей  и образующей, параллельной оси Оz. Заметим, что линия годографа в пространстве ограничена и лежит внутри куба .

Пример 2Написать параметрические уравнения кривой  .

Решение. Пусть .

Ответ: 

Пример 3Доказать, что годографом вектор-функции  — постоянные, линейно независимые векторы, причем векторы  и ортогональны, является эллипс.

Решение. Выберем векторы  в качестве базиса и обозначим , тогда ;

, т.е. ,

Таким образом, годограф лежит в плоскости  и является эллипсом .

Пример 4Доказать, что если , где  и  — постоянные, то  и .

Решение.

Найдём производные: 

.

Домашнее задание

Пример 5 Составить параметрические уравнения кривой .

Ответ: 

Пример 6Показать, что линия  лежит на конусе.

Указание: показать, что .

Пример 7 Доказать, что годограф вектор-функции  лежит на сфере.

Указание: показать, что .

Пример 8 Доказать, что если , где  и  — постоянные, то .

Пример 9 Найти проекции линии  на координатные плоскости.

Ответ: Оху: окружность ;

 -синусоида; .