Конспект лекций по высшей математике Введение в дифференциальную геометрию

Высшая математика, Лекции
    Скачать с Depositfiles 

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛУ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

                                 «ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ»

для студентов направления подготовки 0709

«Геодезия, картография и землеустройство»

Составитель: доц. Абдулин Р.Н.

 

IІ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ

Контрольные вопросы:

  1. Понятие кривой в пространстве. Параметрическое задание кривой.

  2. Уравнения касательной в случае параметрического задания кривой и в случае задания кривой, как пересечения двух поверхностей.

  3. Длина дуги кривой. Натуральный параметр кривой.

2.1 ЗАДАНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Под кривой в пространстве будем понимать множество Г точек в пространстве, заданное, как непрерывный образ некоторого промежутка числовой оси.

Кривую можно задать параметрически:

(2.1)

или как годограф вектор-функции , .

2.2 КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ.

Кривая называется дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д., если соответственно координатные функции в формуле (2.1) дифференцируемы, непрерывно дифференцируемы, дважды дифференцируемы и т.д.

Пусть Г – дифференцируемая кривая, заданная как годограф вектор-функции ;  и  Тогда прямая, являющаяся касательной к годографу вектор – функции  в конце радиус – вектора , называется касательной к кривой Г. Поскольку по геометрическому смыслу  является направляющим вектором касательной, уравнения касательной в точке М0(х0, y0, z0) можно записать в виде:

(2.2)

В случае задания кривой уравнениями

x=x, y=f(x), 

(здесь роль параметра играет переменная х), уравнения касательной имеют вид:

 (2.3)

Составим уравнение касательной к кривой, заданной, как пересечение двух поверхностей, заданных уравнениями в неявной форме

в точке (x0, y0, z0).

Если параметрическое задание этой кривой имеет вид: x=x(t), y=y(t), z=z(t), то имеем тождества

Дифференцируя эти тождества, получим

Отсюда видно, что вектор касательной  перпендикулярен каждому из векторов , т.е. коллинеарен их векторному произведению

Тогда уравнения касательной в точке (x0, y0, z0) имеют вид

(2.5)

Если на кривой указать положительное направление, соответствующее возрастанию параметра t, то вектор  называют касательным вектором ориентированной кривой.

Углом между ориентированными кривыми, пересекающимися в некоторой точке, называется угол между их касательными в этой точке.

Пример 2.1 Составить уравнения касательной к винтовой линии:  в произвольной точке t и для .

Решение. Так как  то уравнение касательной в произвольной точке согласно (2.2) будет иметь вид

.

В частности, при :

Пример 2.2 Составить уравнения касательной к кривой Вивиани: x2+y2+z2=R2, x2+y2=Rx в точке М0(R/2, R/2, ).

Решение: Кривая Вивиани является линией пересечения поверхностей сферы с центром в начале координат и кругового цилиндра с центром (образующей), смещенным вдоль оси (в данном случае) Ох на величину, равную радиусу цилиндра. Диаметр цилиндра равен радиусу сферы.

Запишем уравнения поверхностей в неявном виде

 x2+y2+z2–R2=0,

 x2+y2 –Rх=0.

Тогда  и согласно (2.5) уравнения касательной в произвольной точке линии будут иметь вид

или

В точке М0(R/2, R/2, ) уравнение касательной:

    1. ДЛИНА КРИВОЙ. НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР КРИВОЙ.

Рассмотрим дугу непрерывно дифференцируемой кривой

Г: x=x(t), y=y(t), z=z(t), .

В разделе «Определённый интеграл» мы получили формулу для нахождения длины дуги кривой:

(2.6)

Если в качестве параметра выбрана координата х, и кривая задана уравнениями: x=x, y=y(x), z=z(x), , то:

.

При переменном верхнем пределе длина дуги будет переменной величиной:

, отсюда:

. (2.7)

Если параметром t кривой является переменная длина дуги s, то координаты точки М кривой будут зависеть от длины дуги s=АМ: x=x(s), y=y(s), z=z(s) (естественная параметризация). Тогда в формуле (2.7)  и, следовательно, , т.е. вектор  будет единичным вектором касательной к кривой.

Точка (x(t0), y(t0), z(t0)) кривой называется особой, если , и неособой, если .

Для всякой непрерывно дифференцируемой кривой без особых точек существует ее представление , в котором за параметр s взята переменная длина дуги этой кривой, т.е. натуральная параметризация.

Пример 2.3 Найти длину дуги s(T) винтовой линии

x=acost, y=asint, z=bt, . 

Решение: Касательный вектор  винтовой линии равен . Тогда

Пример 2.4 Записать натуральную параметризацию винтовой линии.

Решение: Длина дуги линии . Отсюда  Подставляя t в выражения x(t), y(t), z(t), получим уравнение винтовой линии в естественной (натуральной) параметризации:

 где