ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛУ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
«ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ»
для студентов направления подготовки 0709
«Геодезия, картография и землеустройство»
Составитель: доц. Абдулин Р.Н.
IІ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
Контрольные вопросы:
-
Понятие кривой в пространстве. Параметрическое задание кривой.
-
Уравнения касательной в случае параметрического задания кривой и в случае задания кривой, как пересечения двух поверхностей.
-
Длина дуги кривой. Натуральный параметр кривой.
2.1 ЗАДАНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Под кривой в пространстве будем понимать множество Г точек в пространстве, заданное, как непрерывный образ некоторого промежутка числовой оси.
Кривую можно задать параметрически:
(2.1)
или как годограф вектор-функции ,
.
2.2 КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ.
Кривая называется дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д., если соответственно координатные функции в формуле (2.1) дифференцируемы, непрерывно дифференцируемы, дважды дифференцируемы и т.д.
Пусть Г – дифференцируемая кривая, заданная как годограф вектор-функции ;
и
Тогда прямая, являющаяся касательной к годографу вектор – функции
в конце радиус – вектора
, называется касательной к кривой Г. Поскольку по геометрическому смыслу
является направляющим вектором касательной, уравнения касательной в точке М0(х0, y0, z0) можно записать в виде:
(2.2)
В случае задания кривой уравнениями
x=x, y=f(x),
(здесь роль параметра играет переменная х), уравнения касательной имеют вид:
(2.3)
Составим уравнение касательной к кривой, заданной, как пересечение двух поверхностей, заданных уравнениями в неявной форме
в точке (x0, y0, z0).
Если параметрическое задание этой кривой имеет вид: x=x(t), y=y(t), z=z(t), то имеем тождества
Дифференцируя эти тождества, получим
Отсюда видно, что вектор касательной перпендикулярен каждому из векторов
, т.е. коллинеарен их векторному произведению
Тогда уравнения касательной в точке (x0, y0, z0) имеют вид
(2.5)
Если на кривой указать положительное направление, соответствующее возрастанию параметра t, то вектор называют касательным вектором ориентированной кривой.
Углом между ориентированными кривыми, пересекающимися в некоторой точке, называется угол между их касательными в этой точке.
Пример 2.1 Составить уравнения касательной к винтовой линии: в произвольной точке t и для
.
Решение. Так как то уравнение касательной в произвольной точке согласно (2.2) будет иметь вид
.
В частности, при :
Пример 2.2 Составить уравнения касательной к кривой Вивиани: x2+y2+z2=R2, x2+y2=Rx в точке М0(R/2, R/2, ).
Решение: Кривая Вивиани является линией пересечения поверхностей сферы с центром в начале координат и кругового цилиндра с центром (образующей), смещенным вдоль оси (в данном случае) Ох на величину, равную радиусу цилиндра. Диаметр цилиндра равен радиусу сферы.
Запишем уравнения поверхностей в неявном виде
x2+y2+z2–R2=0,
x2+y2 –Rх=0.
Тогда и согласно (2.5) уравнения касательной в произвольной точке линии будут иметь вид
или
В точке М0(R/2, R/2, ) уравнение касательной:
-
ДЛИНА КРИВОЙ. НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР КРИВОЙ.
Рассмотрим дугу непрерывно дифференцируемой кривой
Г: x=x(t), y=y(t), z=z(t), .
В разделе «Определённый интеграл» мы получили формулу для нахождения длины дуги кривой:
(2.6)
Если в качестве параметра выбрана координата х, и кривая задана уравнениями: x=x, y=y(x), z=z(x), , то:
.
При переменном верхнем пределе длина дуги будет переменной величиной:
, отсюда:
. (2.7)
Если параметром t кривой является переменная длина дуги s, то координаты точки М кривой будут зависеть от длины дуги s=АМ: x=x(s), y=y(s), z=z(s) (естественная параметризация). Тогда в формуле (2.7)
и, следовательно,
, т.е. вектор
будет единичным вектором касательной к кривой.
Точка (x(t0), y(t0), z(t0)) кривой называется особой, если , и неособой, если
.
Для всякой непрерывно дифференцируемой кривой без особых точек существует ее представление , в котором за параметр s взята переменная длина дуги этой кривой, т.е. натуральная параметризация.
Пример 2.3 Найти длину дуги s(T) винтовой линии
x=acost, y=asint, z=bt, .
Решение: Касательный вектор винтовой линии равен
. Тогда
Пример 2.4 Записать натуральную параметризацию винтовой линии.
Решение: Длина дуги линии . Отсюда
Подставляя t в выражения x(t), y(t), z(t), получим уравнение винтовой линии в естественной (натуральной) параметризации:
где