Конспект лекций по высшей математике Введение в дифференциальную геометрию 2

    Скачать с Depositfiles 

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛУ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

                                       «ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ»

для студентов направления подготовки 0709

«Геодезия, картография и землеустройство»

Составитель: доц. Абдулин Р.Н.

2.4 КРУГ КРИВИЗНЫ.

Рассмотрим кривую в натуральной параметризации:

Г:  

в окрестности точки . Здесь и далее в скобках приводятся соответствующие формулы для произвольного параметра. Наряду с точкой Мо рассмотрим ещё две соседних точки М1 и М2. Выше мы вводили понятие касательной, как предельное положение секущей МоМ1 при М1  Мо. Напомним, что вектор

(2.8)

‑ единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастания параметра s.

Определение 2.1 Кругом кривизны кривой Г в точке Мо называется предельное положение окружности, проходящей через точки Мо, М1 и М2 при М1  Мо и М2  Мо. Радиус этой окружности  называется радиусом кривизны, а её центр С – центром кривизны кривой Г в точке Мо.

Заметим, что радиус кривизны вычисляется по формуле

(2.9)

а величина

(2.9’)

называется кривизной кривой Г.

2.5. НОРМАЛЬ И БИНОРМАЛЬ. РЕПЕР ФРЕНЕ

Определение 2.2 Главной нормалью кривой Г в точке Мо называется направленная прямая, идущая из точки Мо в центр круга кривизны.

Единичный вектор главной нормали находится по формуле:

(2.10)

или (2.10’)

Определение 2.3 Бинормалью кривой Г в точке Мо называется направленная прямая, проходящая через точку Мо и образующая вместе с положительной касательной и главной нормалью правую тройку, которая называется репером Френе (иногда — сопровождающим трёхгранником).

Единичный вектор бинормали находится по формуле:

(2.11)

или (2.11’)

Определение 2.4 Нормальной плоскостью называется плоскость, перпендикулярная касательной. Спрямляющей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная главной нормали. Соприкасающейся перпендикулярная бинормали. Эти три плоскости иногда называют сопровождающим трёхгранником кривой.

2.6 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ

Единичные векторы касательной, нормали и бинормали связаны формулами Френе (без доказательства):

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Здесь — кривизна, а величина

(2.15)

или (2.15’)

называется кручением кривой Г в точке М.

Точки, где кривизна кривой равна нулю, называются точками распрямления, а точки, в которых кручение равно нулю, называются точками уплощения.

Для того, чтобы кривая была плоской, необходимо и достаточно, чтобы кручение в каждой её точке было равно нулю.

2.7 ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ

Определение 2.5 Эволютой  кривой Г:  называется геометрическое место центров кривизны этой кривой.

Для получения уравнения эволюты  заметим, что ,

значит уравнение эволюты  имеет вид: (2.17)

Определение 2.6 Если кривая  является эволютой кривой Г, то кривая Г называется эвольвентой кривой .

Пример 2.5 Для винтовой линии x=costy=sintz=t, в точке Мо(1, 0, 0) найти:

а) единичные векторы касательной, нормали, бинормали;

б) уравнения касательной, нормали и бинормали;

в) уравнения нормальной, соприкасающееся и спрямляющей плоскостей;

г) кривизну и кручение;

д) составить уравнение эволюты.

Решение.

а) Точке Мо(1, 0, 0) соответствует значение параметра to=0. Найдём производные радиус-вектора в этой точке:

Найдём единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали: ;

;

;

б) Поскольку вектор  является направляющим вектором касательной, вектор — направляющим вектором главной нормали, а вектор — бинормали, запишем для точки Мо(1, 0, 0) канонические уравнения касательной:

главной нормали: 

и бинормали: .

в) Нормальная плоскость проходит через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно вектору касательной  , её уравнение:

.

Соприкасающаяся плоскость проходит через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно вектору бинормали  , её уравнение:

.

Спрямляющая плоскость проходит через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно вектору нормали , её уравнение:

.

г) Кривизна по формуле (2.9’):

.

Кручение найдём по формуле (2.15’):

Отсюда следует, что кривизна и кручение в точках винтовой линии имеют постоянное значение, .

д) Уравнение эволюты найдём по формуле (2.17): .

Здесь .

 .

Подставим найденное в формулу (2.17):

,

т.е. эволютой винтовой линии будет так же винтовая линия, но повёрнутая вокруг оси Oz на 180.