ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛУ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
«ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ»
для студентов направления подготовки 0709
«Геодезия, картография и землеустройство»
Составитель: доц. Абдулин Р.Н.
III. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ.
(лекции 6‑7)
Контрольные вопросы:
1. Способы задания плоских кривых.
2. Уравнения касательной и нормали.
3. Формулы для нахождения единичного вектора нормали и кривизны.
4. Уравнение эволюты.
3.1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.
Кривая, у которой кручение в каждой точке равно нулю, располагается в плоскости и поэтому называется плоской. В качестве такой плоскости выбирают плоскость хОу.
Геометрию плоских кривых можно получить как частный случай геометрии кривых в пространстве, но при таком подходе могут ускользнуть многие своеобразные их особенности. В связи с этим теория плоских кривых строится независимо от теории кривых в пространстве.
Кривую на плоскости можно задать уравнениями различных видов, наиболее распространенными из которых являются:
а) векторное уравнение , (3.1)
б) векторно-параметрическое уравнение (3.2)
в) координатно-параметрические уравнения
x=x(t), y=y(t), (3.3)
г) уравнение в несимметричной форме
y=f(x)(3.4)
или(3.5)
Заметим, что присоединив к уравнению (3.4) тождество х=х, получим параметрические уравнения х=х, y=f(x). Они отличаются от уравнений (3.3) тем, что за параметр принята абсцисса точка кривой.
д) уравнение в симметричной форме F(x,y)=0(3.6)
В частности, если какая-либо точка кривой не является особой (т.е. отлична от нуля по крайней мере одна из производных в этой точке), то в ее окрестности уравнение (3.6) можно разрешить или относительно у (при
), и тогда получим уравнение (3.4), или относительно х (при
), тогда получим уравнение (3.5).
3.2 ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.
Длиной кривой называется верхняя грань всех возможных ломаных, вписанных в данную кривую. В частности, если кривая задана векторно-параметрическим уравнением и функция
непрерывна вместе со своей производной
на
, то она спрямляема.
а) Длина кривой в прямоугольных координатах.
Если плоская кривая задана уравнением , где функция
непрерывна вместе со своей производной на [a,b], то она спрямляема и ее длина выражается формулой
(3.7)
Если кривая задана параметрическими уравнениями и функции
непрерывно дифференцируемы на [T1, T2], то ее длина выражается формулой:
(3.8)
б) Длина кривой в полярных координатах.
Если кривая задана в полярных координатах уравнением
и функция
непрерывна вместе со своей производной
на
, то ее длина выражается формулой
(3.9)
Пример 3.1 Найти длину полукубической параболы ay2=x3, aх=0 до х=5а.
Решение: Из уравнений кривой следует, что полукубическая парабола симметрична относительно оси абсцисс (замена у= ‑у не изменяет уравнения) и расположена в правой полуплоскости координатной полуплоскости хОу (х не может быть отрицательным). Вычислим длину одной ветви кривой ОА.
Из уравнения кривой находим .
По формуле (3.7) получим:
.
Длина кривой равна S=670а/27.
Пример 3.2 Вычислить длину кардиоиды .
Решение: Однозначная ветвь функции r соответствует изменению параметра в промежутке
, при этом кривая симметрична относительно полярной оси. При изменении
от 0 до
полярный радиус r опишет половину кривой. Половину длины кардиоиды найдем, используя формулу (3.9):
Длина всей кардиоиды S=8a.
3.3 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К КРИВОЙ.
Единичный вектор направленной касательной, как мы показали выше (1.7), находится как орт производной радиус-вектора:.
На практике иногда удобнее в качестве направляющего вектора касательной брать вектор (или любой ему коллинеарный вектор) и уравнение касательной в точке
записать в виде:
(3.10)
или . (3.11)
В качестве направляющего вектора нормали можно взять единичный вектор главной нормали , или, что на практике гораздо проще, вектор
, ортогональный вектору
, тогда уравнение нормали будет иметь вид:
(3.12)
или . (3.13)
Если кривая задана уравнением в несимметричной форме (3.4), то касательная и нормаль соответственно имеют уравнения
(3.14)
(3.15)
г) Если кривая задана уравнением в симметричной форме (3.6), то касательная и нормаль соответственно имеют уравнения
(3.16)
(3.17)
Пример 3.3 Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=x3-2 в точке А(2,3).
Решение: Используем уравнение касательной (3.14) и нормали для кривой, заданной в несимметричной форме. Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку А(2,3): y-3=k(x-2),
где k – угловой коэффициент прямой (в данном случае произвольный параметр). Для определения k, соответствующего касательной и нормали к кривой, найдем производную при х=2:
Следовательно, для касательной k=12, для нормали k= ‑ 1/12. Подставляя эти значения в уравнение пучка прямых, получим уравнение касательной
y-3=12(x-2) или y=12x-21, уравнение нормали
.
Пример 3.4 Составить уравнение касательной и нормали к декартовому листу х3+у3-3аху=0, а>0 (рис.9) в точке А (3а/2;3а/2).
Решение. Используем уравнения касательной (3.16) и нормали (3.17) для кривой заданной в симметричной форме. Записав исходное уравнение в виде F(x,y)=0, найдем:
Подставляя значения производных в уравнение касательной
и нормали: ,
получим уравнение касательной у=3а-х, и уравнение нормали у=х.
3.4 КРИВИЗНА КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА КРИВОЙ.
Если кривая задана уравнением у=у(х), то ее кривизна определяется по формуле:
(3.18)
В случае векторно-параметрического задания кривой
(3.19)
Радиус кривизны в данной точке:
(3.20)
Всякая прямая, проходящая через точку кривой и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке. Вектор нормали к кривой, направленный в сторону центра кривизны и указывающий направление, в котором кривая в окрестности рассматриваемой точки отклоняется от своей касательной, называется вектором главной нормали. Множество центров кривизны кривой образуют ее эволюту. В случае векторно-параметрического задания кривой уравнение эволюты имеет вид (2.17):
, и координаты центра кривизны
определяются формулами:
,
(3.21)
Если кривая задана уравнением y=f(x), то
,
(3.22)
Исходная кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
Пример 3.5 Найти кривизну и радиус кривизны параболы у=х2 в произвольной точке х.
Решение: Кривизну параболы найдем, подставляя в (3.18):
Эта величина принимает наибольшее значение при х=0, для которого k=2. Радиус кривизны связан с кривизной соотношением (3.20), поэтому
Наименьший радиус кривизны в точке (0,0).
Пример 3.6 Найти радиус кривизны и эволюту эллипса .
Решение: Представим уравнение эллипса в параметрическом виде:
Подставляя в формулы (3.19) и (3.20), получим
.
Уравнение эволюты найдем по формуле (3.21):
Таким образом, эволютой эллипса является астроида.