Конспект лекций по высшей математике Введение в дифференциальную геометрию 4

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛУ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

                                       «ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ»

для студентов направления подготовки 0709

«Геодезия, картография и землеустройство»

Составитель: доц. Абдулин Р.Н.

 

4. ПОВЕРХНОСТИ

4.1 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Поверхность в трёхмерном пространстве может быть задана:

1) неявно: F(x,y,z)=0 (4.1)

2) явно: z =f(x,y)(4.2)

3) параметрически: (4.3)

или: (4.3’)

где скалярные аргументы  иногда называют криволинейными координатами. Например, сферу  удобно задавать в сферических координатах:.

4.2 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.

Если линия  лежит на поверхности (4.1), то координаты её точек удовлетворяют уравнению поверхности:

, дифференцируя это тождество, получим:

(4.4)

или (4.4’)

в каждой точке кривой на поверхности. Таким образом, вектор градиента  в неособых точках поверхности (в которых функция (4.5) дифференцируема и ) перпендикулярен касательным векторам к любым линиям на поверхности, т.е может быть использован в качестве вектора нормали для составления уравнения касательной плоскости в точке М₀(x₀,y₀,z₀) поверхности

(4.6)

и в качестве направляющего вектора в уравнении нормали:

(4.7)

В случае явного (4.2) задания поверхности уравнения касательной плоскости и нормали соответственно примут вид:

(4.8)

и(4.9)

При параметрическом представлении поверхности (4.3) векторы  лежат в касательной плоскости и уравнение касательной плоскости может быть записано в виде:

(4.10)

а в качестве направляющего вектора нормали может быть принято их векторное произведение:

,

и уравнение нормали может быть записано в виде:

(4.11)

где  — значения параметров соответствующие точке М₀.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь таких точек поверхности, где векторы

не равны нулю и не параллельны.

Пример 4.1 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке М₀(1,1,2) к поверхности параболоида вращения .

Решение: Так как уравнение параболоида задано в явном виде, то согласно (4.8) и (4.9) нужно найти  в точке М₀:

, а в точке М₀ . Тогда уравнение касательной плоскости в точке М₀ примет вид:

2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0 или 2x+2y – z ‑ 2=0, а уравнение нормали .

Пример 4.2 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в произвольной точке геликоида , .

Решение. Здесь ,

Уравнение касательной плоскости:

 или

,

Уравнения нормали:

.

4.3 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

Если поверхность задается уравнением

 то кривая  на ней может быть задана уравнением (4.12)

Дифференциал радиус-вектора  вдоль кривой, отвечающий смещению из точки М₀ в близлежащую точку М, равен

(4.13)

Так как  — дифференциал дуги кривой, отвечающий тому же смещению), то

(4.14)

где .

Выражение в правой части (4.14) называется первой квадратичной формой поверхности и играет в теории поверхностей огромную роль.

Интегрирую дифференциал ds в пределах от t₀ (соответствует точке М₀) до t (соответствует точке М), получим длину соответствующего отрезка кривой

(4.15)

Зная первую квадратичную форму поверхности, можно находить не только длины, но и углы между кривыми.

Если du, dv— дифференциалы криволинейных координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кривой, а  — по другой, то с учетом (4.13):

(4.16)

С помощью формулы

(4.17)

первая квадратичная форма дает возможность вычислить площадь области  поверхности.

Пример 4.3 На геликоиде ,  найти длину винтовой линии  между двумя точками .

Решение. Поскольку на винтовой линии , то . Найдём в точке первую квадратичную форму. Обозначив  и v=t, получим уравнение данной винтовой линии в виде . Квадратичная форма:

=

=

= ‑ первая квадратичная форма.

Здесь . В формуле (4.15) в данном случае  и длина дуги:

=

4.4 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

Обозначим  ‑ единичный вектор нормали к поверхности :

(4.18)

Тогда правая часть равенства :

(4.19)

называется второй квадратичной формой поверхности

Пусть на поверхности  задана некоторая кривая , определяющая в точке М_о направление . Плоскость, проходящая через точку М_о параллельно векторам  и , определяет некоторую кривую, называемую нормальным сечением в направлении .

Кривизна нормального сечения в точке М_о находится по формуле

(4.20)

Для любой точки М_о на поверхности имеет место один из двух случаев:

1. кривизна всех нормальных сечений одинакова (сферическая точка);

2. Существуют два ортогональных направления (главные направления), для которых  имеет наибольшее и наименьшее значения ( и )

Величины  и  называются главными кривизнами поверхности в точке М_о. Главные направления  определяются из условия экстремума для кривизны (4.20):

(4.21)

Если нормальное сечение образует угол  с первым главным направлением, то для кривизны этого сечения имеет место формула Эйлера

(4.22)

Величина  называется гауссовой кривизной поверхности, а  – средней кривизной. Справедливы следующие соотношения

(4.23)

Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным направлением.

4.6 ПОНЯТИЕ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ НА ПОВЕРХНОСТИ.

Определение 4.1. Кривая на поверхности называется геодезической, если ее главная нормаль  в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью  к поверхности.

Через каждую точку поверхности в любом направлении проходит, и при том только одна геодезическая. На сфере, например, геодезическими являются большие круги.

Параметризация поверхности называется полугеодезической, если одно семейство координатных линий состоит из геодезических, а второе ему ортогонально. Например, на сфере меридианы (геодезические) и параллели.

Геодезическая на достаточно малом отрезке является кратчайшей среди всех близких к ней кривых, соединяющих те же точки.

Литература

1.Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. «Наука», 1969

2. Рашевский П.Е. Дифференциальная геометрия. «Физматгиз», 1956

3. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. «Мир»,1970