ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛУ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
«ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ»
для студентов направления подготовки 0709
«Геодезия, картография и землеустройство»
Составитель: доц. Абдулин Р.Н.
4. ПОВЕРХНОСТИ
4.1 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Поверхность в трёхмерном пространстве может быть задана:
1) неявно: F(x,y,z)=0 (4.1)
2) явно: z =f(x,y)(4.2)
3) параметрически: (4.3)
или: (4.3’)
где скалярные аргументы иногда называют криволинейными координатами. Например, сферу
удобно задавать в сферических координатах:.
4.2 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.
Если линия лежит на поверхности (4.1), то координаты её точек удовлетворяют уравнению поверхности:
, дифференцируя это тождество, получим:
(4.4)
или (4.4’)
в каждой точке кривой на поверхности. Таким образом, вектор градиента в неособых точках поверхности (в которых функция (4.5) дифференцируема и
) перпендикулярен касательным векторам к любым линиям на поверхности, т.е может быть использован в качестве вектора нормали для составления уравнения касательной плоскости в точке М0(x0,y0,z0) поверхности
(4.6)
и в качестве направляющего вектора в уравнении нормали:
(4.7)
В случае явного (4.2) задания поверхности уравнения касательной плоскости и нормали соответственно примут вид:
(4.8)
и(4.9)
При параметрическом представлении поверхности (4.3) векторы лежат в касательной плоскости и уравнение касательной плоскости может быть записано в виде:
(4.10)
а в качестве направляющего вектора нормали может быть принято их векторное произведение:
,
и уравнение нормали может быть записано в виде:
(4.11)
где — значения параметров соответствующие точке М0.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь таких точек поверхности, где векторы
не равны нулю и не параллельны.
Пример 4.1 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке М0(1,1,2) к поверхности параболоида вращения .
Решение: Так как уравнение параболоида задано в явном виде, то согласно (4.8) и (4.9) нужно найти в точке М0:
, а в точке М0
. Тогда уравнение касательной плоскости в точке М0 примет вид:
2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0 или 2x+2y – z ‑ 2=0, а уравнение нормали .
Пример 4.2 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в произвольной точке геликоида ,
.
Решение. Здесь ,
Уравнение касательной плоскости:
или
,
Уравнения нормали:
.
4.3 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.
Если поверхность задается уравнением
то кривая
на ней может быть задана уравнением
(4.12)
Дифференциал радиус-вектора вдоль кривой, отвечающий смещению из точки М0 в близлежащую точку М, равен
(4.13)
Так как — дифференциал дуги кривой, отвечающий тому же смещению), то
(4.14)
где .
Выражение в правой части (4.14) называется первой квадратичной формой поверхности и играет в теории поверхностей огромную роль.
Интегрирую дифференциал ds в пределах от t0 (соответствует точке М0) до t (соответствует точке М), получим длину соответствующего отрезка кривой
(4.15)
Зная первую квадратичную форму поверхности, можно находить не только длины, но и углы между кривыми.
Если du, dv— дифференциалы криволинейных координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кривой, а — по другой, то с учетом (4.13):
(4.16)
С помощью формулы
(4.17)
первая квадратичная форма дает возможность вычислить площадь области поверхности.
Пример 4.3 На геликоиде ,
найти длину винтовой линии
между двумя точками
.
Решение. Поскольку на винтовой линии , то
. Найдём в точке
первую квадратичную форму. Обозначив
и v=t, получим уравнение данной винтовой линии в виде
. Квадратичная форма:
=
=
= ‑ первая квадратичная форма.
Здесь . В формуле (4.15) в данном случае
и длина дуги:
=
4.4 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.
Обозначим ‑ единичный вектор нормали к поверхности
:
(4.18)
Тогда правая часть равенства :
(4.19)
называется второй квадратичной формой поверхности
Пусть на поверхности задана некоторая кривая
, определяющая в точке Мо направление
. Плоскость, проходящая через точку Мо параллельно векторам
и
, определяет некоторую кривую, называемую нормальным сечением в направлении
.
Кривизна нормального сечения в точке Мо находится по формуле
(4.20)
Для любой точки Мо на поверхности имеет место один из двух случаев:
-
кривизна всех нормальных сечений одинакова (сферическая точка);
-
Существуют два ортогональных направления (главные направления), для которых
имеет наибольшее и наименьшее значения (
и
)
Величины и
называются главными кривизнами поверхности в точке Мо. Главные направления
определяются из условия экстремума для кривизны (4.20):
(4.21)
Если нормальное сечение образует угол с первым главным направлением, то для кривизны этого сечения имеет место формула Эйлера
(4.22)
Величина называется гауссовой кривизной поверхности, а
– средней кривизной. Справедливы следующие соотношения
(4.23)
Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным направлением.
4.6 ПОНЯТИЕ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ НА ПОВЕРХНОСТИ.
Определение 4.1. Кривая на поверхности называется геодезической, если ее главная нормаль в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью
к поверхности.
Через каждую точку поверхности в любом направлении проходит, и при том только одна геодезическая. На сфере, например, геодезическими являются большие круги.
Параметризация поверхности называется полугеодезической, если одно семейство координатных линий состоит из геодезических, а второе ему ортогонально. Например, на сфере меридианы (геодезические) и параллели.
Геодезическая на достаточно малом отрезке является кратчайшей среди всех близких к ней кривых, соединяющих те же точки.
Литература
1.Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. «Наука», 1969
2. Рашевский П.Е. Дифференциальная геометрия. «Физматгиз», 1956
3. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. «Мир»,1970