Лекция Криволинейные интегралы

    Скачать с Depositfiles 

Лекции 9-10

Криволинейные интегралы.

Контрольные вопросы.

  1. Криволинейный интеграл первого рода и его свойства.

  2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

  3. Криволинейный интеграл второго рода и его свойства.

  4. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

  5. Формула Остроградского-Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Криволинейный интеграл 1-го рода.

Пусть  незамкнутая кривая на плоскости хОу с концевыми точками АВ; z=f(x,y функция, определенная в точках кривой LРазобьем кривую L последовательными точками

А0, А1, А2, . . . , Аn

на дуги L1= А0А1, L2= А1А2, . . . , Ln= Аn-1Аn.

На дуге Li выберем произвольную точку М(хi, уi) (= 1,2,…, n). Обозначим lдлину дуги Li , а .

Составим интегральную сумму функции (x,y) по кривой L

 

Определение. Предел если он существует, называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции (x,y) по кривой L и обозначается

 (1)

В случае замкнутой кривой выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 1-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 1-го рода (20) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 1-го рода.

1) ,

2) 

3) 

4) 

5) L=, где L длина кривой L.

Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода. Пусть  кривая с линейной плотностью массы  (ху). Тогда масса кривой находится по формуле:

 (2)

Замечание. Криволинейный интеграл 1-го рода аналогично определяется и для пространственной кривой.

15. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

x =  (t), y= (t),  ≤ ,

где  (t),  (t непрерывно дифференцируемые на отрезке [,  ] функции. Тогда

. (22)

Пусть кривая задана явно уравнением

y=g(x), a≤ b,

где g (x непрерывно дифференцируемая на [ab] функция. Тогда

. (4)

Примеры. 1) Вычислить интеграл , где L часть окружности xy4, расположенная в первой четверти координатной плоскости.

 

Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L имеет вид x = 2cosy=2sint, 0 ≤ /2. Сначала вычислим

=

Далее.

Теперь:

2) Вычислить массу части параболы y=4х от точки О(0, 0) до точки А(4, 4)если ее линейная плотность равна  (ху) = у.

Решение. Положим

 

По формуле (4) имеем