Лекция Криволинейные интегралы 2

    Скачать с Depositfiles 

Лекции 9-10

Криволинейные интегралы.

Контрольные вопросы.

  1. Криволинейный интеграл второго рода и его свойства.

  2. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.

  3. Формула Остроградского-Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

Криволинейный интеграл 2-го рода.

Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке Вz=P(x,y функция, определенная на кривой LРазобьем кривую L последовательными точками

А0, А1, А2, . . . , Аn

на дуги L1= А0А1, L2= А1А2, . . . , Ln= Аn-1Аn и на дуге Lвыберем произвольную точку Мi(хi, уi) (= 1, 2, . . . , n). Обозначим xi = xixiyi =yi  yi1, а d наибольшую из длин дуг Li (=1,2,…, n).

Составим интегральную сумму функции P(x,y) по кривой L относительно х

Определение. Предел если он существует, называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции P(x,y) по кривой Lотносительно х и обозначается

Рисунок 16

 (5)

 

В случае замкнутой кривой выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция P(x,y) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода (5) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности по области, аналогичные свойства 2), 3), 4) криволинейных интегралов первого рода, и свойство антиориентированности

.

Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения xи, следовательноинтегральная сумма Sxизменяют знак.

Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го рода от функции Q(x,y) по кривой L относительно у

, (6)

где .

Пусть на ориентированной кривой определены две функции P(xy) и Q(xy). Тогда сумма интегралов (5) и (6) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от функций P(x,y) и Q(x,y) по кривой L и обозначается

(7)

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Пусть   вектор силы, действующей на материальной точку М(xyориентированной кривой LТогда работа, совершаемая силой  при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L, равна

 (8)

Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.

Площадь плоской фигуры. Пусть простая (т.е. без самопересечений) замкнутая кривая L ориентирована «против часовой стрелкиD область, ограниченная кривой LТогда площадь области D находится по формуле:

 (9)

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть ориентированная кривая задана параметрическими уравнениями

x =  (t), y= (t),  ≤ ,

где  (t),  (t непрерывно дифференцируемые на отрезке [,  ] функции. Тогда

=

 (10)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой Lесли ориентации кривой L соответствует изменение параметра tот  до , то в формуле (10) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (10) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

Пусть кривая задана явно уравнением y=f(x), a≤ bгде f(x непрерывно дифференцируемая на отрезке [ab] функция. Тогда

. (11)

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле (10).

Примеры. 1) Вычислить работу силы , приложенной к точке М(xyпри перемещении точки вдоль кривой x=2costy=2sint, 0 ≤ t/2 от точки В(0, 2) до точки А(2, 0).

Решение. Данная кривая  это дуга окружности радиуса 2 в первой четверти. По формуле (8) искомая работа равна

Положим 

и применим формулу (11). При этом учтем, что при движении по кривой от точки В до точки А параметр изменяется от /2 до 0.

2) Вычислить , где кривая ОА – дуга параболы .

Решение. Положив ,

применим формулу (11), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О до А переменная меняется от 0 до 4.

3) Вычислить  где L  замкнутая линия ОВАО, О(0; 0), А(4; 4), В(4; 0).

Решение. Кривая L состоит из линий ОВВА и АО. По свойству аддитивности

 

 (12)

Отрезок ОВ задается уравнением у = 0 при 0х≤4. Значит, dy=0. Тогда

.

Отрезок ВA задается уравнением х = 4 при 0 ≤ у ≤ 4. Тогда =0 и

.

Кривая АО задается уравнением  при изменении значения у от 4 до 0. Значит,  и

.

Подставив вычисленные интегралы в (12), получаем

Замечание. По формуле (9) видно, что вычисленный интеграл равен удвоенной площади области, ограниченной контуром ОВАО.