Теория поля
Основные понятия
Определение: Полем называется область V пространства, в каждой точке которой задано значение некоторой величины.
Определение: Скалярным полем называется область пространства, в каждой точке М которой определена скалярная функция U(М). Например, температурное поле.
Определение: Векторным полем называется некоторая область пространства, в каждой точке М которой, задан некоторый вектор (М). Например, поле силы тяжести.
Если функция U(М) (вектор (М)) не зависит от времени, то поле называется стационарным.
Например, для трехмерного пространства
U=U(х,у,z), ={P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)}.
В дальнейшем будем считать, что указанные ыункции непрерывно дифференцируемы.
Скалярное поле
Поверхностью уровню скалярного поля называется геометрическое место точек пространства, в которых функция U(М) сохраняет постоянное значение. Например, для поля поверхностями уровня будут концентрические сферы.
В случае плоского поля поверхности U(х,у)=С, поверхности уровня будут линиями уровня.
U(М)=С (1)
Определение: Градиентом скалярного поля U(х,у,z) называется вектор
(2)
Скорость изменения функции U(х,у,z) в некотором направлении характеризуется производной функции U(х,у,z) по направлению
:
Если , то фукция U в направлении
убывает.
Если , то фукция U в направлении
возрастает.
Наибольший рост функции происходит в направлении градиента. При этом
Векторное поле
Векторные линии поля
Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором =
(М).
Векторной линией поля называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М, направлена вдоль вектора
(М).
Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости.
Поток векторного поля
Пусть некоторая поверхность S находится поле вектора (например, в стационарном потоке жидкости). Найдем объем жидкости, протекающей через поверхность S за единицу времени.
Выберем определенную сторону поверхности S с нормалью . Разобьем S на части
,…,
и на каждой части выберем точку
вычисляем
.
За единицу времени через протекает объем
,
где — высота параллелепипеда:
Определение: Потоком вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности S от проекции вектора
на нормаль к поверхности:
(1)
;
(2)
Используя связь между интегралами I и II рода, получим
(3)
Для замкнутой поверхности S:
Обычно выбирают направление -внешней нормалью. При этом, если поток больше нуля, то внутри поверхности S есть источник, а если меньше нуля, то есть сток.
Пример: Найти поток вектора
Через верхнюю сторону плоскости ΔАВС, полученного пересечением плоскости 3x+6y-2z-6=0 с координатными плоскостями.
Сделаем рисунок.
Нам нужно , значит
, а в нашем случае
, значит берем
Найдем поток
Дивергенция векторного поля
Дивергенция характеризует распределение и интенсивность источников и стоков поля.
Определение: Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке М(x,y,z) называется скалярная величина:
(4)
Теперь формулу Остроградского-Гаусса можно записать в сиде:
(5)
Т.е. поток поля через замкнутую поверхность S равен тройному поверхностью S от дивергенции. Значит, если в этом объеме дивергенция равна нулю, то суммарный поток через замкнутую поверхность равен нулю.