Лекция Теория поля

Теория поля

Основные понятия

Определение: Полем называется область V пространства, в каждой точке которой задано значение некоторой величины.

Определение: Скалярным полем называется область пространства, в каждой точке М которой определена скалярная функция U(М). Например, температурное поле.

Определение: Векторным полем называется некоторая область пространства, в каждой точке М которой, задан некоторый вектор (М). Например, поле силы тяжести.

Если функция U(М) (вектор (М)) не зависит от времени, то поле называется стационарным.

Например, для трехмерного пространства

U=U(х,у,z), ={P(x,y,z);Q(x,y,z);R(x,y,z)}.

В дальнейшем будем считать, что указанные ыункции непрерывно дифференцируемы.

Скалярное поле

Поверхностью уровню скалярного поля называется геометрическое место точек пространства, в которых функция U(М) сохраняет постоянное значение. Например, для поля  поверхностями уровня будут концентрические сферы.

В случае плоского поля поверхности U(х,у)=С, поверхности уровня будут линиями уровня.

U(М)=С (1)

Определение: Градиентом скалярного поля U(х,у,z) называется вектор

 (2)

Скорость изменения функции U(х,у,z) в некотором направлении  характеризуется производной функции U(х,у,z) по направлению :

Если , то фукция U в направлении  убывает.

Если , то фукция U в направлении  возрастает.

Наибольший рост функции происходит в направлении градиента. При этом 

Векторное поле

Векторные линии поля

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором =(М).

Векторной линией поля называется линия, касательная к которой в каждой ее точке М, направлена вдоль вектора (М).

Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями будут линии, по которым движутся частицы жидкости.

Поток векторного поля

Пусть некоторая поверхность S находится поле вектора (например, в стационарном потоке жидкости). Найдем объем жидкости, протекающей через поверхность S за единицу времени.

Выберем определенную сторону поверхности S с нормалью . Разобьем S на части ,…, и на каждой части выберем точку  вычисляем.

За единицу времени через  протекает объем ,

где — высота параллелепипеда: 

Определение: Потоком вектора через поверхность S называется интеграл по поверхности S от проекции вектора  на нормаль к поверхности:

 (1)

; 

 (2)

Используя связь между интегралами I и II рода, получим

 (3)

Для замкнутой поверхности S: 

Обычно выбирают направление -внешней нормалью. При этом, если поток больше нуля, то внутри поверхности S есть источник, а если меньше нуля, то есть сток.

Пример: Найти поток вектора 

Через верхнюю сторону плоскости ΔАВС, полученного пересечением плоскости 3x+6y-2z-6=0 с координатными плоскостями.

Сделаем рисунок.

Нам нужно , значит , а в нашем случае , значит берем 

Найдем поток 

Дивергенция векторного поля

Дивергенция характеризует распределение и интенсивность источников и стоков поля.

Определение: Дивергенцией (расходимостью) векторного поля  в точке М(x,y,z) называется скалярная величина: (4)

Теперь формулу Остроградского-Гаусса можно записать в сиде:

 (5)

Т.е. поток поля через замкнутую поверхность S равен тройному поверхностью S от дивергенции. Значит, если в этом объеме дивергенция равна нулю, то суммарный поток через замкнутую поверхность равен нулю.