Циркуляция векторного поля
Возьмем в поле вектора 
замкнутую кривую L.
Определение: Циркуляцией вектора вдоль замкнутой кривой L называется интеграл:
,где 
(6)
(7)
Если кривая L расположена в истоковом поле, то циркуляция – работа силы , приложенной к материальной точке, при движении точки вдоль контура L.
Пример: Вычислить циркуляцию векторного поля 
вдоль периметра треугольника АВС с вершинами А(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1).
Решение:
1) 
: 
; 
; 
; 
Аналогично находим интегралы 
, 
:
; 
Ротор векторного поля
Определение: Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор:
(8)
или 
Вспомним формулу Стокса:
.
Теперь можно записать короче:
Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура 
равна потоку ротора этого вектора через поверхность с ограниченным контуром .
Пример: Найти циркуляцию векторного поля 
по окружности 
; .
-
найдем циркуляцию непосредственно:
-
найдем циркуляцию по формуле Стокса
; 
;
;
Основные классы векторных полей
1.Соленоидальное поле
Определение: Поле называется соленоидальным, если во всех его точках дивергенция равна 0, 
т.е. нет источников и стоков, поскольку по формуле Остроградского: 
.
Т.е. в соленоидальном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
2. Потенциальное поле
Сила равна градиенту функции U.
Определение: Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если во всех точках поля его ротор равен нулю 
.
Свойства потенциального поля:
а) Циркуляция потенциального поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
б) В потенциальном поле криволинейный интеграл по дуге 
зависит только от положения точек 
и 
, и не зависит от формы кривой .
Это свойство следует из свойства а)
; 
в) Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции 
, если , то существует такая функция , что
.
Таким образом, потенциальное поле можно задавать не тремя функциями 
а одной функцией — потенциалом.
Потенциал находится с точностью до константы по формуле:
(9)
Пример: Установить потенциальность поля 
и найти его потенциал.
-
покажем, что поле потенциально
.
поле потенциально
-
найдем потенциал по формуле (9)
Гармоническое поле
Определение: Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е. и 
. Примером гармонического поля является поле скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.
Получим условие для потенциала.
Т.к. , то существует такое, что .
Тогда из условия , следует что 
, т.е. потенциал 
является решением уравнения Лапласа (гармонической фукцией).