Лекция Теория поля 2

    Скачать с Depositfiles 

Циркуляция векторного поля

Возьмем в поле вектора замкнутую кривую L.

Определение: Циркуляцией вектора вдоль замкнутой кривой L называется интеграл:

,где  (6)

 (7)

Если кривая L расположена в истоковом поле, то циркуляция – работа силы , приложенной к материальной точке, при движении точки вдоль контура L.

Пример: Вычислить циркуляцию векторного поля  вдоль периметра треугольника АВС с вершинами А(1;0;0), В(0;1;0), С(0;0;1).

Решение:

1) 

Аналогично находим интегралы :

 

Ротор векторного поля

Определение: Ротором (вихрем) векторного поля  называется вектор:

 (8)

или 

Вспомним формулу Стокса:

.

Теперь можно записать короче:

Циркуляция вектора  вдоль замкнутого контура  равна потоку ротора этого вектора через поверхность с ограниченным контуром .

Пример: Найти циркуляцию векторного поля  по окружности .

  1. найдем циркуляцию непосредственно:

 

  1. найдем циркуляцию по формуле Стокса

;

;

Основные классы векторных полей

1.Соленоидальное поле

Определение: Поле  называется соленоидальным, если во всех его точках дивергенция равна 0,  т.е. нет источников и стоков, поскольку по формуле Остроградского: .

Т.е. в соленоидальном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

2. Потенциальное поле

Сила равна градиенту функции U.


Определение: Векторное поле  называется потенциальным (безвихревым), если во всех точках поля его ротор равен нулю .

Свойства потенциального поля:

а) Циркуляция потенциального поля  по любому замкнутому контуру равна нулю.

б) В потенциальном поле  криволинейный интеграл по дуге  зависит только от положения точек  и , и не зависит от формы кривой .

Это свойство следует из свойства а)

в) Потенциальное поле является полем градиента некоторой скалярной функции , если , то существует такая функция , что.

Таким образом, потенциальное поле  можно задавать не тремя функциями а одной функцией — потенциалом.

Потенциал находится с точностью до константы по формуле:

 (9)

Пример: Установить потенциальность поля  и найти его потенциал.

  1. покажем, что поле потенциально

.

поле потенциально

  1. найдем потенциал по формуле (9)

Гармоническое поле

Определение: Векторное поле  называется гармоническим, если оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т.е.  и . Примером гармонического поля является поле скоростей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем источников и стоков.

Получим условие для потенциала.

Т.к. , то существует  такое, что .

Тогда из условия , следует что 

, т.е. потенциал является решением уравнения Лапласа (гармонической фукцией).