Лекция Линейные дифференциальные уравнения

    Скачать с Depositfiles 

 

 

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение:

Линейным д.у. называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных:

 (1)

Если правая часть  не равна тождественно нулю, то уравнение (1) называется линейным неоднородным д.у.(ЛНДУ)

Линейные однородные дифференциальные уравнения. (ЛОДУ)

Если в уравнении (1) , то уравнение (1) называется линейным однородным д.у.(ЛОДУ). Рассмотрим однородное уравнение:

 (2)

Будем считать, что коэффициенты  –непрерывные функции.

Его можно записать в виде  , где –линейный дифференциальный оператор.

Оператор обладает свойствами линейности:

1) 

2)  ,c=const.

Докажем эти сойства:

1) 

2) 

Теорема (о линейной комбинации решений ЛОДУ)

Если функции  являются решениями ЛОДУ уравнения (2), то и их линейная комбинация  с произвольными постоянными коэффициентами тоже будет решением уравнения (2). (Доказать дома)

Теорема2 (о комплексном решении ЛОДУ).

Если ЛОДУ (2) с действительными коэффициентами  имеет комплексное решение  , то его действительная  и мнимая части каждая являются решениями уравнения (2).

(Доказать дома).

Определение:

Функции называются линейно независимыми, если существуют такие коэффициенты  не все равные нулю, что

(3)

Если же тождество (3) имеет мест только при всех  то функции называются линейно независимыми.

Примеры:

1)Совокупность функций  , при   будет линейно независимой.

2)Совокупность  тоже линейно независима.

Теорема (о линейной зависимости функций)

Если функции  линейно зависимы на отрезке , то определитель Вронского

 (4)

на этом отрезке тождественно равен нулю.

Доказательство

Дано, что  причем не все  равны нулю. Дифференцируя это равенство п1 раз, получим систему уравнений

Эта система имеет ненулевое решение, следовательно, ее определитель (4) равен нулю. 

Теорема (об общем решении ЛОДУ)

Если функции  являются независимыми частными решениями ЛОДУ (2) на отрезке , то их линейная комбинация  будет общим решением уравнения (2).

Следствие Максимальное число линейно независимых решений ЛОДУ равно его порядку.

Определение:

Любые п линейно независимых частных решений уравнения (2) называются фундаментальной системой решений.

Примеры:

1)Уравнение  имеет независимые частные решения  и . Здесь

Значит, его общим решением будет .

2)Уравнение  имеет частные решения , однако они линейно зависимы, так как

и не образуют фундаментальную систему решений.

В качестве фундаментальной системы решений этого уравнения можно взять функции: , так как они линейно независимы:

Общее решение: 


    Скачать с Depositfiles