Лекция Обыкновенные дифференциальные уравнения

    Скачать с Depositfiles 

 

 

 

 

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, а также неизвестную функцию этой переменной и её производные или дифференциалы, называется обыкновенным дифференциальным уравнением:

F(xyy, …, у(п) = 0. (1)

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок содержащихся в нём производных.

Например, xcosy + (y – y2)sinx = 0 — уравнение первого порядка,

 — второго порядка и т.д.

Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения п-го порядка (1) называют функцию

, (2)

зависящую от аргумента х и п произвольных постоянных С1,…Сп, и такую, что она при подстановке в уравнение (1) превращает его в тождество.

Если общее решение задаётся в неявной форме

, (3)

то его называют общим интегралом уравнения (1).

Определение 4. Общее решение (общий интеграл), в котором вместо произвольных С1,…Сп подставлены конкретные числа, называется частным решением (частным интегралом).

Для нахождения значений постоянных С1,…Сп необходимо задать п начальных условий.

Определение 5. Совместное задание дифференциального уравнения и соответствующего количества начальных данных называется задачей Коши:

 (4)

Теорема (о существовании и единственности решения)

Если в дифференциальном уравнении  функции  и  непрерывны в области D, содержащей точку , то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию .

Пример1.

Закон радиоактивного распада.

Известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его количеству. Пусть y(t) — количество вещества, .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

N(x)dx+M(y)dy=0 (5)

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл такого уравнения находится по формуле:

(6)

Пример 2. Найти общее решение уравнения

-общий интеграл,

 — общее решение. Знак перед радикалом можно определить из начальных условий.

Определение 7. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

P(x)R(y)dx+Q(x)S(y)dy=0(7)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести к уравнению с разделенными переменными вида (6) путем деления обеих частей на Q(x)R(y):

Т.е. получим уравнение с разделенными переменными, которое решается интегрированием.

Пример 3. Найти общий интеграл уравнения

 — общий интеграл.

Пример 4.

 — общий интеграл

Пример 5.

 — (задача Коши).

 — общий интеграл

 — частный интеграл

— частное решение (решение задачи Коши)

Упражнения

1. Решить дифференциальные уравнения

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;


    Скачать с Depositfiles