ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Определение 1. Уравнение, содержащее независимую переменную, а также неизвестную функцию этой переменной и её производные или дифференциалы, называется обыкновенным дифференциальным уравнением:
F(x, y, y, …, у(п) ) = 0. (1)
Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок содержащихся в нём производных.
Например, xcosy + (y – y2)sinx = 0 — уравнение первого порядка,
— второго порядка и т.д.
Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения п-го порядка (1) называют функцию
, (2)
зависящую от аргумента х и п произвольных постоянных С1,…Сп, и такую, что она при подстановке в уравнение (1) превращает его в тождество.
Если общее решение задаётся в неявной форме
, (3)
то его называют общим интегралом уравнения (1).
Определение 4. Общее решение (общий интеграл), в котором вместо произвольных С1,…Сп подставлены конкретные числа, называется частным решением (частным интегралом).
Для нахождения значений постоянных С1,…Сп необходимо задать п начальных условий.
Определение 5. Совместное задание дифференциального уравнения и соответствующего количества начальных данных называется задачей Коши:
(4)
Теорема (о существовании и единственности решения)
Если в дифференциальном уравнении функции
и
непрерывны в области D, содержащей точку
, то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию
.
Пример1.
Закон радиоактивного распада.
Известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его количеству. Пусть y(t) — количество вещества, .
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка вида
N(x)dx+M(y)dy=0 (5)
называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
Общий интеграл такого уравнения находится по формуле:
(6)
Пример 2. Найти общее решение уравнения
—
-общий интеграл,
— общее решение. Знак перед радикалом можно определить из начальных условий.
Определение 7. Дифференциальное уравнение первого порядка вида
P(x)R(y)dx+Q(x)S(y)dy=0(7)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его можно привести к уравнению с разделенными переменными вида (6) путем деления обеих частей на Q(x)R(y):
Т.е. получим уравнение с разделенными переменными, которое решается интегрированием.
Пример 3. Найти общий интеграл уравнения
— общий интеграл.
Пример 4.
— общий интеграл
Пример 5.
— (задача Коши).
— общий интеграл
— частный интеграл
— частное решение (решение задачи Коши)
Упражнения
1. Решить дифференциальные уравнения
1) |
|
2) |
|
3) |
|
4) |
|
5) |
|
6) |
|
7) |
|
8) |
|
9) |
|
10) |
|
11) |
|
12) |
|
13) |
|
14) |
|