Лекция Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

    Скачать с Depositfiles 

Лекция 2

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение: Функция  называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом  справедливо тождество

Примеры— однородная функция первого измерения

— второго измерения

 — нулевого измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

называется однородным относительно х и у, если функция  есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у , т.е. 

Решение однородного уравнения:

По условию: .

Полагая здесь , получим: , и уравнение (1) запишем так:

(1’)

Заметим, что перед делением на х следует проверить наличие частного решения .

Сделаем подстановку .

 ;

Подставляя сюда после интегрирования , получим общий интеграл уравнения (1).

Пример. Найти общий интеграл дифф. уравнения .

Решение. Замена: ;

 

  

  — общий интеграл

Замечание: Уравнение вида  будет однородным тогда и только тогда, когда  и  будут однородными функциями одного и того же измерения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения:  — однородное уравнение. Заметим, что оно допускает частное решение .

Если , то делаем замену ;

. – общий интеграл.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение:

Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

(1)

где  и  — непрерывные функции или константы.

Решение уравнения (1) будем искать решение в виде произведения двух функций

(2)

Тогда 

Тогда уравнение (1) можно записать в виде:

, или

(3)

Выберем  так, чтобы выполнялось равенство:

 (кроме ) (4)

Тогда 

Полагаем здесь (нам нужно любое решение уравнения (4))

Окончательно получим общее решение в виде 

Постоянную С можно найти из начальных условий: .

Пример: Решить задачу Коши

 ;

Уравнение Бернулли

Уравнения вида

(1)

где  и  – непрерывные функции (или константы),  и , называется уравнениями Бернулли. Заметим, что они допускают нулевое решение . Если, то они приводятся к линейным уравнениям заменой

(2)

Поделим обе части уравнения (1) на , получим

 (3)

(4)

-линейное д.у. Найдем его общее решение, сделаем в нем обратную замену  и получим общее решение уравнения (1).

Пример. Найти общее решение уравнения

(5)

Уравнение имеет нулевое решение . Найдем другие решения.

;

 — линейное д.у.

Практика

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

1); 2);

3); 4) ; ;

2. Однородные

1);

2); 3);

4); 5);

6) ;

3. Линейные первого порядка

1) ; 2);

3); 4).

4. Уравнения Бернулли

1); 2).

 

 

    Скачать с Depositfiles