Лекция Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 2

    Скачать с Depositfiles 

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Рассмотрим д.у. п-го порядка в разрешенном относительно старшей производной виде:

(1)

Для таких уравнений имеет место теорема существования и единственности решения:

Теорема Если в уравнении (1) функция  и ее частные производные по переменным  непрерывны в некоторой области, содержащей значения , то существует и притом единственное решение  уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям

(2)

Уравнения вида: 

Решаются путем п-кратного повторного интегрирования:

……..

Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (2), достаточно положить 

Пример

Найти общий интеграл д.у.  и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям : .

Решение: ,

Отсюда при  получим 

В частном решении имеем: 

.

Дифференциальные уравнения второго порядка,

приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка

1. Уравнения вида:

, (3)

не содержащие переменной у, введением новой неизвестной  приводится к уравнению первого порядка

(4)

Пусть  -общее решение уравнения (4), тогда

 (5)

-общее решение уравнения (3)

Пример: Найти общее решение уравнения:

 ;

Замена: 

.

2. Уравнения вида: , (6)

не содержащее переменной х. Полагая ;

, получим -уравнение первого порядка. Пусть его общее решение: , тогда

— уравнение с разделенными переменными;

его общий интеграл  — будет общим интегралом уравнения (6).

Пример: Найти общий интеграл уравнения

;

;

;

Здесь знак перед радикалом определяется из начальных условий. Далее

.

Примеры.

1) ;

2) ;

3) 

4) 

 
 

    Скачать с Depositfiles