Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами (лнду)

    Скачать с Depositfiles 

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (ЛНДУ)

Такие уравнения имеют вид:

 (1)

Структура общего решения уравнения (1) определяется следующей теоремой:

Теорема 1 (о структуре общего решения ЛНДУ)

Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения учн(х) и общего решения уоо(х) соответствующего однородного уравнения:

 (2)

Теорема 2

Пусть неоднородное уравнение таково, что правая часть его есть сумма двух функций f1(x) и f2(x):

 (3)

Если при этом функция у1(х) является частным решением уравнения

 (4)

а у2(х) – частным решением уравнения

 (5)

то функция у(х)= у1(х)+ у2(х) будет частным решением уравнения (3)

Доказательство: Подставим у(х) в уравнение (3):

= ч.т.д.

Решение ЛНДУ со специальной правой частью

1. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид , где – многочлен n-ной степени:

 (6)

Тогда возможны следующие случаи:

а) Число  не является корнем характеристического уравнения

 (7)

Тогда частное решение уравнения (6) будем искать в виде

 (8)

Подставим его в (6) с учетом вида производных

и сокращая на , получим:

 (9)

Если  не является корнем характеристического уравнения, то  и слева в уравнении (9) – полином n-ного порядка, приравнивая коэффициенты при равных степенях х слева и справа в (9), получим n+1 уравнение с n+1 неизвестной , найдем их и получим частное решение (8).

б) Число  есть однократный корень характеристического уравнения (7) (резонанс).

Тогда в уравнении (9) не будет , и слева — полином (n+1)-й степени, а справа – n-й степени, и мы не сможем его найти.

В этом случае частное решение ищется в виде

 (10)

в) Число  есть двукратный корень характеристического уравнения, .

Тогда в уравнении (9)  и слева- полином (n-2) степени, а справа- n-й степени. Частное решение будем искать в виде

 (11)

Пример 1

Найти общее решение уравнения .

Характеристическое уравнение  имеет корни .

Общее решение однородного уравнения .

Правая часть в данном случае: , где  =0, а т.к. ноль не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение в виде многочлена первой степени: . Для нахождения коэффициентов  подставим это решение и его производные  в уравнение:;

Итак, частное решение имеет вид: .

Общее решение неоднородного уравнения:

.

Пример 2 Найти общее решение уравнения:

Корни характеристического уравнения: ;

; 3 – не является корнем характеристического уравнения- резонанса с правой частью нет, частное решение ищем в виде:

; находим .

.

Пример 3 ;

;

Общее решение однородного уравнения: ;

Однократный корень  даёт резонанс

; находим ;

.

2. Пусть уравнение (1) имеет вид:

 (12)

где  — многочлены. Рассмотрим два случая:

а) Если число  не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения (12) надо искать в виде

 (13)

где – многочлены степени, равной наивысшей степени многочленов  и .

б) Если число  есть корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

 (14)

Важный частный случай: если , где MN— постоянные числа, т.е.

 (15)

а) Если число  — не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

 (16)

б) Если  — корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (15) ищем в виде

 (17)

Пример 4

Найти общее решение уравнения: ;

Здесь ,

;;

.

Пример 5 Найти общее решение уравнения ;

Корни характеристического уравнения: ; корень — даёт резонанс с правой частью, 

.

Пример 6 

Правой части соответствовал бы корень — но он не является корнем характеристического уравнения, резонанса нет:

;

.