Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ)

    Скачать с Depositfiles 

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Данные уравнения имеют вид:

, (1)

где p и q –постоянные числа

Определение

Два решения уравнения (1)  и  называются линейно независимыми на отрезке ,если их отношение на данном отрезке не является постоянным, т.е. на 

Теорема ( Об общем решении ЛОДУ)

Если и –два линейно независимых решения уравнения (1), то линейная комбинация

, (2)

где  и –произвольные постоянные, является его общим решением.

Характеристическое уравнение

Для нахождения общего решения (2) следует найти два линейно независимых частных решения. Будем искать их виде  ( ); тогда , подставим эти выражения в (1), получим , откуда следует:

 (3)

-характеристическое уравнение, его корни:

  (4)

Случаи решения характеристического уравнения:

I. корни и –действительные и различные (D

II. корни =–равные действительные (D=0)

III корни и–комплексные (D<0);

Рассмотрим каждый случай отдельно.

IКорни характеристического уравнения действительные и различные ().

Частными решениями будут функции 

Они линейно независимы, т.к. 

Следовательно, общее решение имеет вид: 

II. Корни характеристического уравнения действительные и равные ()

Это будет при D=0 , т.е. .

В качестве первого частного решения возьмём . Покажем, что в этом случае в качестве второго линейно независимого решения можно взять . Подставим его в уравнение (1). Сначала найдём производные:

Подставим в (1):

, т.к.

 и 

Итак, в случае  общее решение уравнения (1) имеет вид

 (8)

IІIКорни характеристического уравнения комплексные

, ().

Частные решения:  , или

 (5)

Покажем, что если некоторая комплексная функция  является решением уравнения (1), то каждая из действительных функций u(x) и v(x) тоже будет решением уравнения (1). для этого подставим его в уравнение (1):

.

Значит, в качестве частных решений уравнения (1) можно взять отдельно действительные и мнимые части решений (5):

,

В этом случае общее решение уравнения (1) можно представить в виде

, (6)

где и  -произвольные постоянные.

Важным частным случаем решения (6) является случай, когда в уравнении (1) p=0 и q

, (q

При этом характеристическое уравнение  (q  и общее решение (6) приобретает вид

 (7)

Примеры:

Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

1)

Характеристическое уравнение: . Имеем первый случай. Общее решение: 

2)  D<0. Второй случай.  

Общее решение: 

3). Случай мнимых корней:  

Общее решение: 

4) . D=0, третий случай

Общее решение: 

5) первый случай  

Общее решение: 

6) второй случай  .

Общее решение: 

7)   

Общее решение: 

8)   

Общее решение: