РЕШЕНИЕ ЛНДУ 2-го ПОРЯДКА МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ
Пусть общее решение однородного уравнения
(1)
имеет вид
(2)
Будем искать общее решение неоднородного уравнения
(3)
в виде (2), считая и
функциями х, т.е.
(4)
Здесь .
Подберем искомые функции и
так, чтобы выполнялось равенство
(5)
Тогда ,
подставляем в (5) и получим:
Итак, функция (4) будет решением неоднородного уравнения (3), если выполняются условия:
Решая эту систему относительно , получим:
,
Интегрируя эти равенства, получим:
;
Подставляя их в (4), получим общее решение уравнения (3).
Пример Найти общее решение уравнения
Характеристическое уравнение имеет корни
;
+
.
.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При решении многих задач требуется найти функции , удовлетворяющие следующим уравнениям:
(1)
(нормальная система)
Проинтегрировать эту систему — значит получить функции , удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям
(2)
Идея решения – исключить из одного уравнения все переменные, кроме одной, проинтегрировать его, подставить решение в другие уравнения и т.д.
Продифференцируем первое уравнение по х:
Здесь исключим с помощью (1), получим:
Аналогично получим:
(3)
Из первых (n-1) уравнений выражаем через
:
(4)
и подставляем в последнее уравнение:
(5)
Решая это уравнение, получим:
(6)
подставляя это решение и его производные в (4), получим остальные функции:
(7)
Здесь константы можно найти с помощью начальных данных (2).
Пример 1
Проинтегрировать систему: (задача Коши)
;
Дифференцируем первое уравнение:
Подставляем сюда выражения для производных из системы:
,
Подставляем сюда выражение , (*) найденное из первого уравнения системы:
, или:
;
Общее решение этого уравнения: ;
Подставляя его в (*), получим: ;
Найдем из условий:
:
;
.
Получаем решение задачи Коши:
;
.
Пример2. Найти общее решение системы
Дифференцируем первое уравнение:
, подставляем сюда выражение
, полученное из первого уравнения, теперь:
, или:
; Корни хар. уравнения
;
, общее решение
, его производная:
,
Ответ: ,
.
Пример 3. Найти общее решение системы:
;
;
;
,
Ответ: ,