Решение лнду 2-го порядка методом вариации произвольных постоянных

    Скачать с Depositfiles 

РЕШЕНИЕ ЛНДУ 2-го ПОРЯДКА МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ

Пусть общее решение однородного уравнения

 (1)

имеет вид

 (2)

Будем искать общее решение неоднородного уравнения

 (3)

в виде (2), считая  и  функциями х, т.е.

 (4)

Здесь .

Подберем искомые функции  и  так, чтобы выполнялось равенство

 (5)

Тогда  подставляем в (5) и получим:

Итак, функция (4) будет решением неоднородного уравнения (3), если выполняются условия:

Решая эту систему относительно , получим:

Интегрируя эти равенства, получим:

Подставляя их в (4), получим общее решение уравнения (3).

Пример Найти общее решение уравнения 

Характеристическое уравнение имеет корни ;

  +

.

.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

При решении многих задач требуется найти функции , удовлетворяющие следующим уравнениям:

 (1)

(нормальная система)

Проинтегрировать эту систему — значит получить функции , удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям

 (2)

Идея решения – исключить из одного уравнения все переменные, кроме одной, проинтегрировать его, подставить решение в другие уравнения и т.д.

Продифференцируем первое уравнение по х:

Здесь исключим  с помощью (1), получим:

Аналогично получим:

 (3)

Из первых (n-1) уравнений выражаем  через :

(4)

и подставляем в последнее уравнение:

 (5)

Решая это уравнение, получим:

(6)

подставляя это решение и его производные в (4), получим остальные функции:

 (7)

Здесь константы  можно найти с помощью начальных данных (2).

Пример 1

Проинтегрировать систему: (задача Коши)

 

Дифференцируем первое уравнение:

Подставляем сюда выражения для производных из системы:

,

Подставляем сюда выражение , (*) найденное из первого уравнения системы:

, или:  ;

Общее решение этого уравнения:  ;

Подставляя его в (*), получим:  ;

Найдем  из условий: :

.

Получаем решение задачи Коши:

.

Пример2. Найти общее решение системы

 Дифференцируем первое уравнение:

, подставляем сюда выражение , полученное из первого уравнения, теперь: , или:; Корни хар. уравнения , общее решение , его производная: ,

Ответ: .

Пример 3. Найти общее решение системы:

,

Ответ: ,