РЕШЕНИЕ ЛНДУ 2-го ПОРЯДКА МЕТОДОМ ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ
Пусть общее решение однородного уравнения
(1)
имеет вид
(2)
Будем искать общее решение неоднородного уравнения
(3)
в виде (2), считая 
и 
функциями х, т.е.
(4)
Здесь 
.
Подберем искомые функции 
и 
так, чтобы выполнялось равенство
(5)
Тогда 
, 
подставляем в (5) и получим:
Итак, функция (4) будет решением неоднородного уравнения (3), если выполняются условия:
Решая эту систему относительно 
, получим:
, 
Интегрируя эти равенства, получим:
; 
Подставляя их в (4), получим общее решение уравнения (3).
Пример Найти общее решение уравнения 
Характеристическое уравнение
имеет корни 
;
+
.
.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При решении многих задач требуется найти функции 
, удовлетворяющие следующим уравнениям:
(1)
(нормальная система)
Проинтегрировать эту систему — значит получить функции , удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям
(2)
Идея решения – исключить из одного уравнения все переменные, кроме одной, проинтегрировать его, подставить решение в другие уравнения и т.д.
Продифференцируем первое уравнение по х:
Здесь исключим 
с помощью (1), получим:
Аналогично получим:
(3)
Из первых (n-1) уравнений выражаем 
через 
:
(4)
и подставляем в последнее уравнение:
(5)
Решая это уравнение, получим:
(6)
подставляя это решение и его производные в (4), получим остальные функции:
(7)
Здесь константы 
можно найти с помощью начальных данных (2).
Пример 1
Проинтегрировать систему: (задача Коши)
; 
Дифференцируем первое уравнение:
Подставляем сюда выражения для производных из системы:
,
Подставляем сюда выражение 
, (*) найденное из первого уравнения системы:
, или: 
;
Общее решение этого уравнения: 
;
Подставляя его в (*), получим: 
;
Найдем 
из условий: 
:
; 
.
Получаем решение задачи Коши:
; 
.
Пример2. Найти общее решение системы
Дифференцируем первое уравнение:
, подставляем сюда выражение 
, полученное из первого уравнения, теперь: 
, или:
; Корни хар. уравнения 
; 
, общее решение 
, его производная: 
,
Ответ: , 
.
Пример 3. Найти общее решение системы:
; 
; 
; 
,
Ответ: 
,