Лекция Преобразование Фурье, интеграл Фурье, вывод формулы Фурье

Скачать с Depositfiles

Лекция 1

Преобразование Фурье

Интеграл Фурье. Вывод формулы Фурье.

Как известно, всякую (периодическую или непериодическую) функцию , удовлетворяющую на отрезке условиям теоремы Дирихле, можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье

(1)

где ,

(2)

В точках непрерывности , в точках разрыва : .

Если при этом функция -периодическая, то это разложение справедливо для .

Рассмотрим случай, когда непериодическая функция, заданная на бесконечном промежутке (т.е. ). Будем полагать, что на любом конечном промежутке ф-я удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. сходится следующий несобственный интеграл:

(3)

Говорят, что абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Подставляя (2)(1), получим:

(4)

Устремим . Первое слагаемое при этом стремится к 0:

т.к.

Во втором слагаемом имеем:

— бесконечная арифметическая прогрессия с разностью причем при имеем . Тогда:

, где .

Полученная сумма является интегральной суммой для функции . Поэтому, переходя в (3) к пределу при , получим, или (4)

— интеграл Фурье для функции .

Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции , а в точках разрыва интеграл Фурье равен полусумме его односторонних пределов: .

Формула Фурье в виде однократного интеграла

Формулу (4) можно представить в другой форме, раскрыв косинус разности:

или

, где (5)

(5)

(5’)

Здесь видна аналогия между рядом Фурье и интегралом Фурье – функция раскладывается в сумму гармонических составляющих, но если в ряде Фурье величина nпринимает дискретные значения, то в интеграле Фурье переменная — непрерывна.

Формула Фурье для четных и нечетных функций.

Если функция — четная, то (здесь — нечетная функция) и тогда формула (5) дает: , где (6).
Если функция — нечетная, то и , где (7).
Если функция задана только на или , то ее можно продолжить на R четным или нечетным образом.