Лекция Преобразование Фурье, интеграл Фурье, вывод формулы Фурье

    Скачать с Depositfiles 

 

 

 

 

Лекция 1

Преобразование Фурье

  1. Интеграл Фурье. Вывод формулы Фурье.

Как известно, всякую (периодическую или непериодическую) функцию , удовлетворяющую на отрезке  условиям теоремы Дирихле, можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье

(1)

где 

(2)

В точках непрерывности , в точках разрыва .

Если при этом функция  -периодическая, то это разложение справедливо для .

Рассмотрим случай, когда  непериодическая функция, заданная на бесконечном промежутке  (т.е. ). Будем полагать, что на любом конечном промежутке ф-я  удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е. сходится следующий несобственный интеграл:

(3)

Говорят, что  абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Подставляя (2)(1), получим:

,

(4)

Устремим . Первое слагаемое при этом стремится к 0:

т.к. 

Во втором слагаемом имеем:

 — бесконечная арифметическая прогрессия с разностью  причем при  имеем . Тогда:

, где .

Полученная сумма является интегральной суммой для функции . Поэтому, переходя в (3) к пределу при , получим, или (4)

— интеграл Фурье для функции .

Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции , а в точках разрыва интеграл Фурье равен полусумме его односторонних пределов: .

Формула Фурье в виде однократного интеграла

Формулу (4) можно представить в другой форме, раскрыв косинус разности:

 или

, где (5)

(5)

(5’)

Здесь видна аналогия между рядом Фурье и интегралом Фурье – функция раскладывается в сумму гармонических составляющих, но если в ряде Фурье величина nпринимает дискретные значения, то в интеграле Фурье переменная  — непрерывна.

Формула Фурье для четных и нечетных функций.

  1. Если функция  — четная, то  (здесь  — нечетная функция) и тогда формула (5) дает: , где (6).

  2. Если функция  — нечетная, то  и , где  (7).

  3. Если функция  задана только на  или , то ее можно продолжить на R четным или нечетным образом.

Пример:

Представить интегралом Фурье функцию

Решение:

Функция удовлетворяет условиям представления в виде интеграла Фурье (один конечный разрыв) ит.е.  абсолютно интегрируема на .

Функция  нечетная, применим формулу (7): .

Воспользуемся интегралом 

.

Это и есть интеграл Фурье для .

Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье

Формулу Фурье (5) можно привести к симметричному виду, вводя функции  тогда (5)(5’)

Тогда для четных функций (6’), а для нечетных функций (7’)

формула (6’) дает косинус-преобразование, а (7’) – синус-преобразование Фурье.

Пример: (Кручкович стр322 №5.14)

Найти косинус-преобразование Фурье функции 

Решение по формуле (6’)