Спектры периодических функций
Ряд Фурье функции произвольного периода Т:
. После введения основной частоты
записывается в виде:
(1)
Воспользуемся формулой , где
, тогда:
(2)
где .
Функция представляется суммой гармоник с частотами
, амплитудами
и фазами
. Совокупность амплитуд
называется амплитудным спектром функции
, а совокупность фаз
— фазовым спектром.
Спектр периодической функции является дискретной функцией, ее график имеет линейчатую форму.
Комплексная форма ряда Фурье
Произведем в формуле (1)для ряда Фурье замену получим:
Из формул и
следует, что
и
.
Обозначим (3)
— комплексные амплитуды, тогда
(4)
Совокупность комплексных амплитуд называется спектром комплексных амплитуд функции
.
Комплексная форма интеграла Фурье
Полагая в формуле Фурье ,
,
, получим
где
.
Итак, комплексная форма интеграла Фурье имеет вид: (5), где
(6) или
(7).
Функция называется спектральной функцией для функции
, а функцию
(8) называют спектральной плоскостью функции
.
Величины и
называются амплитудой и фазой колебания
, соответствующего частоте
. Амплитудный спектр здесь – непрерывная кривая в отличие от столбчатого спектра для периодической функции.
(2’) при
первое слагаемое
в силу (3). Здесь
(4)
где
Лекция 3
Преобразование Фурье
Запишем интеграл Фурье в виде двух равенств:
(1)
и (2)
Здесь формулы (2) и (1) называют соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, которые устанавливают связь между образом и прообразом
:
.
Свойства преобразования Фурье:
-
Однородность:
.
-
Аддитивность:
.
-
Подобие:
.
-
Дифференцирование прообраза:
— в точках непрерывности.
При одностороннем преобразовании Фурье
.
Для -ной производной:
.
-
Интегрирование прообраза:
.
-
Дифференцирование спектральной плотности:
.
-
Теорема запаздывания
-
Теорема смещения спектра:
.
Определение: Сверткой функций называется функция
.
Теорема (свертывания)
Образ свертки двух функций равен произведению их образов: .
Спектральная плотность некоторых функций
-
Прямоугольный импульс.
=
Литература Колобов стр 95
∂-функция Дирака
Определение
Непрерывная или кусочно – непрерывная функция ∂(t,λ) аргумента t, зависящая от параметра λ называется иглообразной, если:
-
∂(t,λ)=0 при
-
∂(t,λ)≥0 при
<λ
-
например,
Пусть — непрерывная функция и числа а, b – разных знаков. По теореме о среднем существует такое
. Если
то и
, отсюда
, в то же время при
:
∂-функция Дирака вводится равенством
Итак, ∂-функция может быть определена равенствами: .
Если ввести ∂-функцию, запаздывающую на t0, то при
получим фильтрующее свойство:
Заметим, что ∂-функция четная:
Пример
Найти преобразование Фурье ∂-функции .
если t0=0, то .
Практические занятия
-
Интеграл Фурье
Пр 1.
Представить интегралом Фурье функцию
функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле (кус.-непрер.) и
Значит при
по инт. теор. Фурье=
Пр 2.
Найти
Решение:
В предыдущем примере возьмем θ=1, t=0, h=1.
.
Пр 3.
представить интегралом Фурье функцию
. Функция удовлетворяет условиям Фурье, четная.
, где
. Здесь
, значит
.
В частности при t=1 получим: , т.е.
.