Лекция Спектры периодических функций

    Скачать с Depositfiles 
                                   
 
 
 
              Лекция 2

                                             Спектры периодических функций

Ряд Фурье функции  произвольного периода Т:

. После введения основной частоты  записывается в виде: (1)

Воспользуемся формулой , где , тогда: (2)

где .

Функция  представляется суммой гармоник с частотами , амплитудами  и фазами . Совокупность амплитуд  называется амплитудным спектром функции , а совокупность фаз  — фазовым спектром.

Спектр периодической функции является дискретной функцией, ее график имеет линейчатую форму.

Комплексная форма ряда Фурье

Произведем в формуле (1)для ряда Фурье замену  получим: 

Из формул и следует, что  и .

Обозначим (3)

— комплексные амплитуды, тогда

(4)

Совокупность комплексных амплитуд  называется спектром комплексных амплитуд функции .

Комплексная форма интеграла Фурье

Полагая в формуле Фурье 

, получим 

 где .

Итак, комплексная форма интеграла Фурье имеет вид:  (5), где  (6) или  (7).

Функция  называется спектральной функцией для функции , а функцию  (8) называют спектральной плоскостью функции .

Величины  и  называются амплитудой и фазой колебания , соответствующего частоте . Амплитудный спектр здесь – непрерывная кривая в отличие от столбчатого спектра для периодической функции.

(2’) при  первое слагаемое  в силу (3). Здесь (4)

где 

Лекция 3

Преобразование Фурье

Запишем интеграл Фурье в виде двух равенств:

(1)

и (2)

Здесь формулы (2) и (1) называют соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, которые устанавливают связь между образом  и прообразом .

Свойства преобразования Фурье:

  1. Однородность: .

  2. Аддитивность: .

  3. Подобие: .

  4. Дифференцирование прообраза:  — в точках непрерывности.

При одностороннем преобразовании Фурье

.

Для -ной производной:

.

  1. Интегрирование прообраза: .

  2. Дифференцирование спектральной плотности: .

  3. Теорема запаздывания 

  4. Теорема смещения спектра: .

Определение: Сверткой функций  называется функция .

Теорема (свертывания)

Образ свертки двух функций равен произведению их образов: .

Спектральная плотность некоторых функций

  1. Прямоугольный импульс. 

=

Литература Колобов стр 95

-функция Дирака

Определение

Непрерывная или кусочно – непрерывная функция ∂(t,λ) аргумента t, зависящая от параметра λ называется иглообразной, если:

  1. (t,λ)=0 при 

  2. (t,λ)≥0 при 

например, 

Пусть  — непрерывная функция и числа а, b – разных знаков. По теореме о среднем существует такое. Если  то и , отсюда , в то же время при  ∂-функция Дирака вводится равенством 

Итак, ∂-функция может быть определена равенствами: .

Если ввести ∂-функцию, запаздывающую на t0, то  при  получим фильтрующее свойство: 

Заметим, что ∂-функция четная: 

Пример

Найти преобразование Фурье ∂-функции .

если t0=0, то .

Практические занятия

  1. Интеграл Фурье

Пр 1.

Представить интегралом Фурье функцию

функция  удовлетворяет условиям теоремы Дирихле (кус.-непрер.) и 

Значит при  

по инт. теор. Фурье=

Пр 2.

Найти 

Решение:

В предыдущем примере возьмем θ=1, t=0, h=1.

.

Пр 3.

представить интегралом Фурье функцию

. Функция удовлетворяет условиям Фурье, четная., где . Здесь

, значит .

В частности при t=1 получим: , т.е. .