Лекция Спектры периодических функций

Скачать с Depositfiles

Лекция 2

Спектры периодических функций

Ряд Фурье функции произвольного периода Т:

. После введения основной частоты записывается в виде: (1)

Воспользуемся формулой , где , тогда: (2)

где .

Функция представляется суммой гармоник с частотами , амплитудами и фазами . Совокупность амплитуд называется амплитудным спектром функции , а совокупность фаз — фазовым спектром.

Спектр периодической функции является дискретной функцией, ее график имеет линейчатую форму.

Комплексная форма ряда Фурье

Произведем в формуле (1)для ряда Фурье замену получим:

Из формул и следует, что и .

Обозначим (3)

— комплексные амплитуды, тогда

(4)

Совокупность комплексных амплитуд называется спектром комплексных амплитуд функции .

Комплексная форма интеграла Фурье

Полагая в формуле Фурье , ,

, получим

где .

Итак, комплексная форма интеграла Фурье имеет вид: (5), где (6) или (7).

Функция называется спектральной функцией для функции , а функцию (8) называют спектральной плоскостью функции .

Величины и называются амплитудой и фазой колебания , соответствующего частоте . Амплитудный спектр здесь – непрерывная кривая в отличие от столбчатого спектра для периодической функции.

(2’) при первое слагаемое в силу (3). Здесь (4)

где

Лекция 3

Преобразование Фурье

Запишем интеграл Фурье в виде двух равенств:

(1)

и (2)

Здесь формулы (2) и (1) называют соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, которые устанавливают связь между образом и прообразом : .

Свойства преобразования Фурье:

Однородность: .
Аддитивность: .
Подобие: .
Дифференцирование прообраза: — в точках непрерывности.

При одностороннем преобразовании Фурье

Для -ной производной:

Интегрирование прообраза: .
Дифференцирование спектральной плотности: .
Теорема запаздывания
Теорема смещения спектра: .

Определение: Сверткой функций называется функция .

Теорема (свертывания)

Образ свертки двух функций равен произведению их образов: .

Спектральная плотность некоторых функций

Прямоугольный импульс.

Литература Колобов стр 95

∂-функция Дирака

Определение

Непрерывная или кусочно – непрерывная функция ∂(t,λ) аргумента t, зависящая от параметра λ называется иглообразной, если:

∂(t,λ)=0 при
∂(t,λ)≥0 при <λ

например,

Пусть — непрерывная функция и числа а, b – разных знаков. По теореме о среднем существует такое. Если то и , отсюда , в то же время при : ∂-функция Дирака вводится равенством