Лекция Функции комплексной переменной

    Скачать с Depositfiles 

 

 

Лекция 2. Функции комплексной переменной

Рассмотрим два множества комплексных чисел D и E на комплексных плос­костях  и 

Определение. Если каждому числу  по некоторому закону поставлено в соответствие число , то говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной , отображающая множество D в множество E.

Множество точек на плоскости называется открытым, если каждая его точка принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Множество называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этом множестве.

Определение. Областью называется открытое связное множество точек плоскости.

Будем считать, что области определения D и значений E являются областями в смысле данного определения.

Функцию  можно записать в виде:

, т.е.

, где

Т.е. задание функции комплексной переменной равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.

Пример 1 Найти действительную и мнимую части функции .

Решение. ;

.

Предел и непрерывность функции комплексной переменной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки  (быть может, за исключением самой точки ).

Определение. Число  называется пределом функции в точке , если действ.   такое действительное число , что  такого, что выполняется неравенство .

В кванторах:

Для существования предела  необходимо и достаточно, чтобы существо­вали пределы  и  при любом пути стремления 

Свойства пределов

1) ;

2) .

3) 

4) , если .

Пусть функция  определена в точке  и ее некоторой окрестности.

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если , при любом способе стремления .

Другое определение непрерывности. Функция  называется непрерывной в точке , если бесконечно малому по модулю приращению аргу­мента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Функция называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.