Лекция 2. Функции комплексной переменной
Рассмотрим два множества комплексных чисел D и E на комплексных плоскостях 
и 
Определение. Если каждому числу 
по некоторому закону поставлено в соответствие число 
, то говорят, что на множестве D задана функция комплексной переменной 
, отображающая множество D в множество E.
Множество точек на плоскости называется открытым, если каждая его точка принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрестностью. Множество называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этом множестве.
Определение. Областью называется открытое связное множество точек плоскости.
Будем считать, что области определения D и значений E являются областями в смысле данного определения.
Функцию можно записать в виде:
, т.е.
, где
; 
, 
. 
Т.е. задание функции комплексной переменной равносильно заданию двух функций двух действительных переменных.
Пример 1 Найти действительную и мнимую части функции 
.
Решение. 
;
; 
.
Предел и непрерывность функции комплексной переменной
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки 
(быть может, за исключением самой точки ).
Определение. Число 
называется пределом функции 
в точке , если 
действ. 
такое действительное число 
, что 
такого, что
выполняется неравенство 
.
В кванторах:
Для существования предела 
необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы 
и 
при любом пути стремления 
Свойства пределов
1) 
;
2) 
.
3) 
4) 
, если 
.
Пусть функция 
определена в точке и ее некоторой окрестности.
Определение. Функция называется непрерывной в точке , если 
, при любом способе стремления 
.
Другое определение непрерывности. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому по модулю приращению аргумента 
соответствует бесконечно малое приращение функции: 
.
Функция 
называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.