Лекция Основные элементарные функции

    Скачать с Depositfiles 

Лекция 3. Основные элементарные функции

Контрольные вопросы

1. Показательная и логарифмическая функции и их свойства.

2. Степенная функция, тригонометрические функции и их свойства.

3. Гиперболические функции, обратные тригонометрические и гиперболические функции.

Показательная функция

Показательная функция  определяется формулой:

(1)

При действительных (при ) получим действительную функцию .

Свойства показательной функции

1) ;

2) ;

3) , т.к. ;

4) ;

5) Функция  периодическая с периодом .

Логарифмическая функция

Определяется как обратная к показательной

Число  называется логарифмом числа , если  и обозначается . Найдем выражение для действительной и мнимой частей показательной функции. Из определения следует:

т.е. 

Итак, (2)

т.е. — многозначная (бесконечнозначная) функция.

При k=0 получаем функцию — главное значение логарифма

 

Свойства логарифмической функции

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Докажем первое свойство:

=.

Примеры Вычислить: .

а) ; тогда ;

;

б) , ; =

в) .

Степенная функция. 

1) Если — натуральное число, то функция — однозначная:

2) Если , то функция — т — значная:

.

3) Если  , то функция — q-значная:

 .

4) Степенная функция  с произвольным комплексным  определяется равенством  .

Пример .

При  имеем — действительное число.

Тригонометрические функции

Определяются равенствами:

.

При действительных получаем тригонометрические функции действительного аргумента .

Свойства тригонометрических функций

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11)  при ;

12)  при ;

13) ;

14)  и т.д.

Докажем, например, что .

Гиперболические функции

Определяются равенствами:

;

Связь с тригонометрическими функциями:

;

;

Свойства гиперболических функций

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) .

Дома вывести формулу для .

Функции  и  имеют период  и .

Обратные тригонометрические функции

,если .

(здесь нет , т.е. корень имеет два значения).

-бесконечнозначная функция.

.

Итак, ;

;

 ;

 .

Обратные гиперболические функции: (apea)

;

 — бесконечнозначные функции.