Аналитические функции
Контрольные вопросы
1. Определение производной.
2. Условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера).
Определение. Пусть однозначная функция 
определена в окрестности точки 
, включая саму точку . Если существует предел
(1)
то он называется производной функции 
в
точке , а функция — дифференцируемой
в точке .
Заметим, что 
стремится к нулю произвольным образом.
Теорема (условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера)).
Если функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, и в этой точке действительные функции 
и 
дифференцируемы, то для дифференцируемоcти функции 
в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства:
; 
(2)
Докажем только необходимость.
Пусть дифференцируема, т.е.
предел (1) существует и не зависит от
пути по которому 
.
а) пусть точка 
стремится
к по прямой, параллельной оси Ох,
т.е. 
, тогда
(3)
б) Если же точка 
вдоль прямой, параллельной оси Оу, т.е.
, то 
;
(4)
Сравнивая формулы (3) и (4), получим 
, ч.т.д.
С учетом условий Эйлера-Даламбера производную 
можно находить по любой из четырех формул:
; 
;
; 
. (5)
Правила дифференцирования
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) Если 
— обратная функция к , т.е. 
, то 
.
Таблица производных основных элементарных функций сохраняется, например:
; 
; 
; 
.
Аналитические функции. Дифференциал
Определение. Однозначная функция 
называется аналитической в точке , если она дифференцируема (выполняется условие Коши-Римана) в некоторой окрестности этой точки.
Точки, в которых функция является аналитической, называются правильными, а в которых не является — особыми.
Заметим, что если функция является аналитической, то её действительная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа:
; 
,
т.е. являются гармоническими функциями. Это следует из условий Коши:
; .
Определение. Дифференциалом функции называется главная линейная часть её бесконечно малого приращения: 
.
Пример 1. Проверить, является ли функция 
аналитической и найти её производную.
Решение. Выделим действительную и мнимую части функции.
Проверим условия Коши: 
,
, — условия выполняются, функция аналитическая. Её производная: 
.
Пример 2. Найти аналитическую функцию 
по её действительной части 
; если 
.
Проверим гармоничность действительной части:
; 
, 
; 
выполняется.
Из первого условия Коши 
следует, что 
, интегрируя это равенство по переменной х, получим:
Подставляя во второе условие Коши 
,
, получим:
, или
.
Найдем С из условия ,
т.о. 
; 
; 
; 
Ответ: 