Лекция Дифференцирование функции комплексной переменной

    Скачать с Depositfiles 
       
 
 
 
 
           Дифференцирование функции комплексной переменной.

 

Аналитические функции

Контрольные вопросы

1. Определение производной.

2. Условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера).

Определение. Пусть однозначная функция  определена в окрестности точки , включая саму точку . Если существует предел

 (1)

то он называется производной функции  в

точке , а функция  — дифференцируемой

в точке .

Заметим, что  стремится к нулю произвольным образом.

Теорема (условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера)).

Если функция  определена в некоторой окрестности точки , и в этой точке действительные функции и дифференцируемы, то для дифференцируемоcти функции в точке необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства:

 (2)

Докажем только необходимость.


Пусть  дифференцируема, т.е.

предел (1) существует и не зависит от

пути по которому .

а) пусть точка  стремится

к по прямой, параллельной оси Ох,

т.е. , тогда

(3)

б) Если же точка  вдоль прямой, параллельной оси Оу, т.е.

, то ;

 (4)

Сравнивая формулы (3) и (4), получим , ч.т.д.

С учетом условий Эйлера-Даламбера производную можно находить по любой из четырех формул:

;

. (5)

Правила дифференцирования

1) ;

2) ;

3)  ;

4) ;

5) Если — обратная функция к , т.е. , то .

Таблица производных основных элементарных функций сохраняется, например:

.

Аналитические функции. Дифференциал

Определение. Однозначная функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема (выполняется условие Коши-Римана) в некоторой окрестности этой точки.

Точки, в которых функция является аналитической, называются правильными, а в которых не является — особыми.

Заметим, что если функция  является аналитической, то её действительная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа:

,

т.е. являются гармоническими функциями. Это следует из условий Коши:

.

Определение. Дифференциалом функции называется главная линейная часть её бесконечно малого приращения: .

Пример 1. Проверить, является ли функция  аналитической и найти её производную.

Решение. Выделим действительную и мнимую части функции.

Проверим условия Коши: ,

, — условия выполняются, функция аналитическая. Её производная: .

Пример 2. Найти аналитическую функцию 

по её действительной части ; если .

Проверим гармоничность действительной части:

 выполняется.

Из первого условия Коши  следует, что , интегрируя это равенство по переменной х, получим:

Подставляя во второе условие Коши  ,

, получим:

, или

.

Найдем С из условия ,

т.о. 

Ответ: