Аналитические функции
Контрольные вопросы
1. Определение производной.
2. Условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера).
Определение. Пусть однозначная функция определена в окрестности точки
, включая саму точку
. Если существует предел
(1)
то он называется производной функции в
точке , а функция
— дифференцируемой
в точке .
Заметим, что стремится к нулю произвольным образом.
Теорема (условие Коши-Римана (Эйлера-Даламбера)).
Если функция определена в некоторой окрестности точки
, и в этой точке действительные функции
и
дифференцируемы, то для дифференцируемоcти функции
в точке
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства:
;
(2)
Докажем только необходимость.
Пусть дифференцируема, т.е.
предел (1) существует и не зависит от
пути по которому .
а) пусть точка стремится
к по прямой, параллельной оси Ох,
т.е. , тогда
(3)
б) Если же точка вдоль прямой, параллельной оси Оу, т.е.
, то
;
(4)
Сравнивая формулы (3) и (4), получим , ч.т.д.
С учетом условий Эйлера-Даламбера производную можно находить по любой из четырех формул:
;
;
;
. (5)
Правила дифференцирования
1) ;
2) ;
3)
;
4) ;
5) Если — обратная функция к
, т.е.
, то
.
Таблица производных основных элементарных функций сохраняется, например:
;
;
;
.
Аналитические функции. Дифференциал
Определение. Однозначная функция называется аналитической в точке
, если она дифференцируема (выполняется условие Коши-Римана) в некоторой окрестности этой точки.
Точки, в которых функция является аналитической, называются правильными, а в которых не является — особыми.
Заметим, что если функция является аналитической, то её действительная и мнимая части удовлетворяют уравнению Лапласа:
;
,
т.е. являются гармоническими функциями. Это следует из условий Коши:
;
.
Определение. Дифференциалом функции называется главная линейная часть её бесконечно малого приращения:
.
Пример 1. Проверить, является ли функция аналитической и найти её производную.
Решение. Выделим действительную и мнимую части функции.
Проверим условия Коши: ,
, — условия выполняются, функция аналитическая. Её производная:
.
Пример 2. Найти аналитическую функцию
по её действительной части ; если
.
Проверим гармоничность действительной части:
;
,
;
выполняется.
Из первого условия Коши следует, что
, интегрируя это равенство по переменной х, получим:
Подставляя во второе условие Коши
,
, получим:
, или
.
Найдем С из условия ,
т.о. ;
;
;
Ответ: