Лекция Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении. Геометрический смысл аргумента производной

 

 

 

 

    Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Понятие о конформном отображении

Пусть функция  аналитична в точке  и .

Выясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.

По определению 

т.е. модуль производной — это отношение бесконечно малого приращения (расстояния)  к бесконечно малому приращению аргумента (расстоянию) , кото­рое одинаково по всем направлениям .

Таким образом, геометрический смысл модуля производной состоит в том, что величина  определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке при отображении .

Величину  при называется коэффициентом растяжения, а при — сжатия.

Пример Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции  в точке .

Решение. Аналитичность этой функции мы показали ранее, её производная

— точке : , т.е. коэффициент растяжения =5

Геометрический смысл аргумента производной

Пусть кривая l на плоскости Оху аргумента z при преобразовании переходит в кривую L на плоскости Оuv и при этом точка z₀ переходит в точку w₀. Тогда

т.е.

Итак, — это угол, на который надо повернуть касательную к кривой  в точке , чтобы получить направление касательной к кривой  в точке w₀.

В силу аналитичности функции  величина  одинакова для всех кривых , проходящих через ,

следовательно для кривых  и , и соответствующих  и  , т.е. угол  между кривыми в плоскости и в плоскости сохраняется.

Определение. Отображение , обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжения в точке  по всем направлениям, называется конформным в точке .

Если функция  аналитична в точке  и , то отображение  является конформным в точке .

Пример Отображение  конформно во всех точках плоскости , т.к. . Коэффициент растяжения  во всех точках плоскости , а т.к., то направления сохраняются, т.е. отображение  является преобразованием гомотетии с центром в нулевой точке.

( — сжатие в 2 раза и поворот на 90°).

Интегрирование функции комплексной переменной

Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой  плоскости  задана непрерывная функция .

Разобьем кривую  точками

 на  частей в направлении

от  к . На каждой дуге  выбе­рем точку   и соста­вим интегральную сумму

, где 

Определение. Интегралом от функции  по контуру  называется предел:

 (1)

Преобразуем формулу (1):

 (2)

Если кривая  задана параметрически: , , , то

 (3)

Свойства интеграла

1. ;

2. ;

3.  (а – постоянное комплексное число);

4. ;

5. Если , то ;

6. Если   , то , где  — длина кривой .

Пример

Вычислить , где  — полуокружность.