АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лекция № 7. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения

1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат

В аналитической геометрии линии на плоскости рассматриваются как геометрическое место точек (г.м.т.), обладающих одинаковым свойством, общим для всех точек линии.

Определение. Уравнение линии  – это уравнение с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на данной линии.

Верно и обратное, т.е. любое уравнение у

вида , вообще говоря, в декартовой  

системе координат (ДСК) определяет линию

как г.м.т., координаты которых удовлетворяют  

этому уравнению. О  х

Замечание 1. Не всякое уравнение вида  определяет линию. Например, для уравнения  не существует точек, координаты, которых удовлетворяли бы этому уравнению. Такие случаи в дальнейшем рассматривать не будем. Это случай так называемых мнимых линий.

Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке .

Для любой точки , лежащей у М

на окружности, в силу определения R

окружности как г.м.т., равноудаленных 

от точки , получаем уравнение х

.

1.2. Параметрические уравнения линий

Существует ещё один способ задавать линию на плоскости при помощи уравнений, которые называются параметрическими:

Пример 1. Линия задана параметрическими уравнениями 

Требуется получить уравнение этой линии в ДСК.

Исключим параметр t. Для этого возведём обе части этих уравнений в квадрат и сложим

Пример 2. Линия задана параметрическими уравнениями

 а

Требуется получить уравнение

этой линии в ДСК. —а а

Поступим аналогично, тогда получим

 —а

Замечание 2. Следует отметить, что параметром t в механике явля-ется время.

1.3. Уравнение линии в полярной системе координат

ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).

ПСК будет определена, если задать точку О – полюс и луч ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом  и полярным углом  – угол между

полярной осью и полярным радиусом. 

Положительное направление отсчета 

полярного угла от полярной оси

считается против часовой стрелки. 

Для всех точек плоскости , О Р

а для однозначности полярного угла считается .

Если начало ДСК совместить с

полюсом, а ось Ох направить по

полярной оси, то легко убедиться у 

в связи между полярными и 

декартовыми координатами: 

 О х Р

Обратно,

 (1)

Если уравнение линии в ДСК имеет вид , то в ПСК —  Тогда из этого уравнения можно получить урав-нение в виде 

Пример 3. Составить уравнение окружности в ПСК, если центр окружности находится в полюсе.

Используя формулы перехода (1) от ДСК к ПСК, получим

Пример 4. Составить уравнение окружности,

если полюс на окружности, а полярная ось у

проходит через диаметр. 

Поступим аналогично 

 О 2R х

 R

Данное уравнение можно получить и

из геометрических представлений (см. рис.).

Пример 5. Построить график линии 

Перейдём к ПСК. Уравнение

примет вид  О 

График линии построим с а

учётом его симметрии и ОДЗ

функции: 

Данная линия называется лемнискатой Бернулли.

1.4. Преобразование системы координат.

Уравнение линии в новой системе координат

1. Параллельный перенос ДСК. у 

Рассмотрим две ДСК, имеющие М

одинаковое направление осей, но  

различные начала координат.  

В системе координат Оху точка 

 относительно системы  О  х

имеет координаты . Тогда имеем

 и 

В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид

 или . (2)

Формулы (2) представляют собой формулы перехода от «старой» системы координат Оху к «новой» системе координат  и наоборот.

Пример 5. Получить уравнение окружности  выполнив параллельный перенос системы координат в центр окружности.

Из формул (2) следует  у

2. Поворот системы координат.  М

Рассмотрим две системы координат 

с общим началом, но с различными

направлениями осей. В системе коор-    

динат Оху вектор , О  х

а в системе координат  вектор

.

Разложим векторы  по базису : 

Тогда имеем ,

откуда, переходя к координатной форме, получим формулы перехода

 (3)  (4)

Формулы (3) представляют собой переход от «старой» системы координат Оху к «новой» системе , а формулы (4) – наоборот.

Пример 6. Составить уравнение гиперболы  при повороте системы координат на угол .

Используя формулы (3), получаем 

или  (каноническое уравнение гиперболы).

3. Общий случай: поворот вместе с параллельным переносом осущест-вляется согласно формулам (2) и (3):

 (5)

Для того, чтобы получить уравнение линии  в новой системе координат, необходимо в это уравнение подставить формулы (5).