АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Лекция № 7. Тема 1 : Линии на плоскости и их уравнения
1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
В аналитической геометрии линии на плоскости рассматриваются как геометрическое место точек (г.м.т.), обладающих одинаковым свойством, общим для всех точек линии.
Определение. Уравнение линии
– это уравнение с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на данной линии.
Верно и обратное, т.е. любое уравнение у
вида , вообще говоря, в декартовой
системе координат (ДСК) определяет линию
как г.м.т., координаты которых удовлетворяют
этому уравнению. О х
Замечание 1. Не всякое уравнение вида определяет линию. Например, для уравнения
не существует точек, координаты, которых удовлетворяли бы этому уравнению. Такие случаи в дальнейшем рассматривать не будем. Это случай так называемых мнимых линий.
Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке
.
Для любой точки , лежащей у М
на окружности, в силу определения R
окружности как г.м.т., равноудаленных
от точки , получаем уравнение х
.
1.2. Параметрические уравнения линий
Существует ещё один способ задавать линию на плоскости при помощи уравнений, которые называются параметрическими:
Пример 1. Линия задана параметрическими уравнениями
Требуется получить уравнение этой линии в ДСК.
Исключим параметр t. Для этого возведём обе части этих уравнений в квадрат и сложим
Пример 2. Линия задана параметрическими уравнениями
а
Требуется получить уравнение
этой линии в ДСК. —а а
Поступим аналогично, тогда получим
—а
Замечание 2. Следует отметить, что параметром t в механике явля-ется время.
1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).
ПСК будет определена, если задать точку О – полюс и луч ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом
и полярным углом
– угол между
полярной осью и полярным радиусом.
Положительное направление отсчета
полярного угла от полярной оси
считается против часовой стрелки.
Для всех точек плоскости , О Р
а для однозначности полярного угла считается .
Если начало ДСК совместить с
полюсом, а ось Ох направить по
полярной оси, то легко убедиться у
в связи между полярными и
декартовыми координатами:
О х Р
Обратно,
(1)
Если уравнение линии в ДСК имеет вид , то в ПСК —
Тогда из этого уравнения можно получить урав-нение в виде
Пример 3. Составить уравнение окружности в ПСК, если центр окружности находится в полюсе.
Используя формулы перехода (1) от ДСК к ПСК, получим
Пример 4. Составить уравнение окружности,
если полюс на окружности, а полярная ось у
проходит через диаметр.
Поступим аналогично
О 2R х
R
Данное уравнение можно получить и
из геометрических представлений (см. рис.).
Пример 5. Построить график линии
Перейдём к ПСК. Уравнение
примет вид О
График линии построим с а
учётом его симметрии и ОДЗ
функции:
Данная линия называется лемнискатой Бернулли.
1.4. Преобразование системы координат.
Уравнение линии в новой системе координат
1. Параллельный перенос ДСК. у
Рассмотрим две ДСК, имеющие М
одинаковое направление осей, но
различные начала координат.
В системе координат Оху точка
относительно системы
О
х
имеет координаты . Тогда имеем
и
В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид
или
. (2)
Формулы (2) представляют собой формулы перехода от «старой» системы координат Оху к «новой» системе координат и наоборот.
Пример 5. Получить уравнение окружности выполнив параллельный перенос системы координат в центр окружности.
Из формул (2) следует
у
2. Поворот системы координат. М
Рассмотрим две системы координат
с общим началом, но с различными
направлениями осей. В системе коор-
динат Оху вектор , О
х
а в системе координат вектор
.
Разложим векторы по базису
:
Тогда имеем ,
откуда, переходя к координатной форме, получим формулы перехода
(3)
(4)
Формулы (3) представляют собой переход от «старой» системы координат Оху к «новой» системе , а формулы (4) – наоборот.
Пример 6. Составить уравнение гиперболы при повороте системы координат на угол
.
Используя формулы (3), получаем
или (каноническое уравнение гиперболы).
3. Общий случай: поворот вместе с параллельным переносом осущест-вляется согласно формулам (2) и (3):
(5)
Для того, чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, необходимо в это уравнение подставить формулы (5).