Лекция Прямая линия на плоскости

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 8. Тема 2 : Прямая линия на плоскости

2.1. Уравнения прямой линии

Теорема. В ДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое уравнение вида  в ДСК определяет на плоскости прямую линию.

Пусть  – нормальный вектор у

прямой (вектор перпендикулярный прямой) 

и точка  принадлежит данной 

прямой. Если  — текущая точка 

прямой, тогда для всех точек

прямой выполняется равенство О х

 

 (1)

Уравнение (1) является уравнением первой степени.

Обратно. Пусть дано линейное уравнение и пусть точка  принадлежит линии, которая определена этим уравнением. Тогда получаем равенства:

Вычитая их последовательно, имеем

Если ввести обозначение  – нормальный вектор, то полученное уравнение (1) будет определять прямую линию. После раскрытия скобок получаем уравнение которое называется общим уравне-нием прямой.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что вектор  является нормальным вектором прямой. у

Кроме того, прямая может быть 

определена, если будет задана точка 

, принадлежащая прямой 

и вектор , которому она

параллельна (направляющий вектор). О х

Пусть точка   текущая точка прямой. Из коллинеарности векторов  и  следует равенство

 (2)

Уравнение (2) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Переходя к координатной форме, получим

 (3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. Если исключить из них параметр t, то приходим к уравнению прямой с угловым коэффициентом(или приведенное уравнение прямой)

 (4)

 y

который образует прямая с осью Охb

 

прямой на оси ОуO x

Замечание 2. Если прямая параллельна оси Оу, то её уравнение имеет вид х = х(в этом случае т = 0). Если – оси Ох, то у = у(п = 0).

2.2. Угол между двумя прямыми

Пусть заданы уравнения двух прямых

 или   у

 

Очевидно, что угол  между этими 

прямыми равен углу между их нормаль- 

ными векторами  и . Поэтому х

получим (см. лекцию 5)

 (5)

Формуле (5) можно придать другой вид – через угловые коэффициенты, если считать угол  острым и воспользоваться известной формулой из тригонометрии

  (6)

Из формул (5-6) следуют условия параллельности и перпендикулярности прямых:

1. Если прямые параллельны, то векторы  коллинеарны, и тогда получаем  или 

2. Если прямые перпендикулярны, то их нормальные векторы также перпендикулярны, и тогда  или .

2.3. Взаимное расположение двух прямых

Совместное решение уравнений прямых даёт точку пересечения этих прямых, т.е.

 (7)

Тогда, если определитель системы (7)

,

то прямые имеют точку пересечения. Если же , т.е. , то прямые параллельны, и здесь возможны случаи:

 — параллельны и не имеют общей точки;

 — прямые совпадают.

2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки  у М

и  Тогда, если  

текущая точка прямой, то из условия М2

коллинеарности векторов  и

 имеем О М1 х

 (8)

Уравнение (8) – искомое уравнение прямой.

2.5. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом

Пусть задана точка  и угловой коэффициент k. Требуется составить уравнение прямой для данных условий. Так как угловой коэффициент задан, то уравнение будем искать в виде . Коэффициент b определим из условия прохождения прямой через данную точку. Тогда имеем

 (9)

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку  перпендикулярно прямой 

Из условия перпендикулярности прямых  находим угловой коэффициент k 3, а по формуле (9) получаем

.

2.6. Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая задана общим y M0

уравнением  и 

требуется определить расстояние

от этой прямой до заданной M d

точки .

Из рисунка следует O x

 (10)

Пример 2. Найти расстояние от прямой  до точки 

По формуле (10) получаем 

Задача. Даны две вершины  у

 и точка  пересечения C

высот треугольника. Составить уравнения А 3 D

его сторон.

Составим уравнение стороны АВ, -3 5

как прямой, проходящей через две точки, O B x

Аналогично уравнение высоты ВD (через две точки) будет иметь вид

Составим уравнение стороны AC. Тогда

Уравнение высоты AD (через две точки) :

    Скачать с Depositfiles