Лекция Линии второго порядка

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 9. Тема 3 : Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

 (1)

где коэффициенты  одновременно не равны нулю. Эта линия назы-вается кривой или линией второго порядка.

Может случиться, что нет точек  с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например,   это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случаев уравнения (1).

3.1. Эллипс

Эллипс определяется уравнением

 (2)

Т.е. в уравнении (1) нужно положить 

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим  и отметим на оси Ох точки   называемые фокусами эллипса. Тогда эллипс можно определить как

 

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2а.

у

 

b

M K

а F1 O F2 ax

b

 

Покажем это. Пусть точка   текущая точка эллипса. В этом случае получаем  Тогда должно выполняться равенство

 (3)

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем 

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением , тогда

 (4)

Разделив обе части выражения (4) на , окончательно получаем каноническое уравнение эллипса 

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить , то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнением  Очевидно, что эллипс проходит через точки . Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точки  называются вершинами эллипса.

Отношение  называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса .

Прямые  называются директрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис:

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е. 

Доказывается аналогично, как и равенство (3).

Замечание 1. Окружность  является частным случаем эллипса. Для неё 

3.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить 

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив , отметим на оси Ох точки  на-зываемые фокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2а, т.е.

у 

К М

F1 —а О а F2 х

Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение  Из этого уравнения видно, что при достаточно больших х гипербола близка к прямой . После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки  называются вершинами гиперболы. Прямые  называются асимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение  называется эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы .

Прямые  называются директрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Пример. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы .

По условию  а

Окончательно получаем 

10.3. Парабола

Парабола определяется каноническим уравнением  т.е. в уравнении (1) нужно положить 

Коэффициент р называется К у

фокальным параметром. М

Отметим на оси Ох точку 

 называемую фокусом

параболы и проведём прямую, О F х

, называемую директрисой.

Тогда парабола может быть также определена как

геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса и директрисы .

Действительно, для произвольной точки параболы  имеем  и  откуда и следует искомое равенство

10.4. Классификация линий второго порядка

В математике доказывается следующая теорема:

Теорема. Любое уравнение вида (1), если не рассматривать случай «мнимых» линий, путём преобразования системы координат можно привести к одному из следующих видов:

1)   эллипс;

2)   гипербола;

3)   парабола;

4)   пара пересекающихся прямых;

5)   пара параллельных прямых;

6)   пара совпадающих прямых;

7)   точка.

Линии второго порядка классифицируются и по значению эксцентри-ситета:

  эллипс;

  парабола;

  гипербола.

    Скачать с Depositfiles