Лекция Прямая в пространстве

    Скачать с Depositfiles 

Тема 5 : Прямая в пространстве

5.1. Уравнения прямой

Как известно, одним из способов задания прямой является пересечение двух непараллельных плоскостей, т.е. прямая l определяется системой уравнений

 (5)

Кроме того, прямая l будет определена,

если задать точку , принадлежащую  М

прямой и вектор , которому эта

прямая параллельна. Такой вектор  называется l М0

направляющим вектором.

Пусть точка   текущая точка прямой, тогда из условия коллинеарности двух векторов  и  получаем

 (6)

Если обозначить равные отношения в формуле (6) через t, то получим

 (7)

Уравнения прямой вида (5)(7) называются соответственно общими, каноническими и параметрическими. Между этими уравнениями существует определённая связь. Переход от уравнений (6) к уравнениям (7) уже рассмотрен. Пусть требуется перейти от уравнений (6) к уравнениям (5). Уравнения (6) эквивалентны системе

 (8)

Система линейных уравнений (8) и определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей. Для перехода от уравнений (5) к (6) необходимо найти из системы (5) координаты любой точки М0, принад-лежащей прямой, а за направляющий вектор взять вектор .

Пример 7. Прямая задана общими уравнениями 

Требуется получить канонические и параметрические уравнения.

Полагая в системе , находим 

Выпишем нормальные векторы  и найдём их векторное произведение

Тогда канонические уравнения прямой имеют вид 

и параметрические уравнения 

Лекция № 11.

5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две точки  и . Возьмём в качестве направляющего вектора , а за начальную точку любую из точек М1 и М2, например, М1. Тогда уравнения искомой прямой примут вид

 (1)

5.3. Угол между двумя прямыми

Очевидно, что углом между двумя прямыми можно считать угол между их направляющими векторами  и . Тогда

 (2)

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны и условие параллельности принимает вид

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие векторы и условие перпендикулярности  из формулы (2) примет вид

Пример 1. Две прямые  и  проходят через начало координат. При этом точки . При каком значении пара-метра р они перпендикулярны?

В качестве первой точки (см. формулу (1)) возьмём начало координат , тогда направляющие векторы будут равны  и из условия перпендикулярности получаем

5.4. Расстояние от точки до прямой

Пусть требуется найти расстояние от точки  до прямой l, заданной каноническими уравнениями

Построим вектор z M1

Расстояние d от точки M1 до

Прямой l равно высоте параллело- M0 d

грамма, построенного на векторах у

 и .

Так как площадь параллелограмма х l

 или ,

то получим

 (3)

Пример 2. Найти расстояние от точки  до прямой

Здесь  И тогда имеем

5.5. Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость P и прямая l заданы соответственно уравнениями:

Здесь   нормальный вектор l

плоскости P  направляющий 

вектор прямой l, а   угол между прямой

и плоскостью.   l1

Если l1  проекция прямой l на P

плоскость P, то  и тогда

Окончательно, считая , получаем

 (4)

Если прямая и плоскость перпендикулярны, то векторы  и  коллинеарны, и тогда условие перпендикулярности примет вид

Если они параллельны, то эти векторы перпендикулярны, и условие параллельности примет вид

5.6. Пересечение прямой с плоскостью

Пусть требуется найти точку пересечения прямой  с плоскостью .

Подставив параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим уравнение

Исключая параметр t, получим

 (5)

Здесь возможны три случая:

1.  Тогда по формуле (5) вычисляем значение пара-метра t и из уравнений прямой определяем координаты точки пересе-чения.

2. , а . В этом случае прямая параллельна плоскости.

3.  и . Тогда прямая принадлежит плоскости.

Пример 3. Определить взаимное расположение прямой, проходящей через две точки  и , с плоскостью 

Составим по формуле (1) уравнения прямой проходящей через эти точки: 

Определим угол между этой прямой и плоскостью по формуле (4):

Из этого следует, что прямая параллельна плоскости. Проверим принадлежит ли она плоскости? Подставим координаты точки  в уравнение плоскости:

откуда следует, что данная прямая принадлежит плоскости.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую  и точку Р

Из условия компланарности векторов М  М0

 и  имеемl М1 

Раскрывая определитель, получим искомое уравнение плоскости Р 

 

    Скачать с Depositfiles