Лекция Определители. Определители второго и третьего порядков Основные свойства определителей Вычисление определителей.

    Скачать с Depositfiles 

 

 

 

 

Министерство образования и науки Украины

ГВУЗ „Донецкий национальный технический университет”

Улитин Г.М., Гончаров А.Н.

КУРС ЛЕКЦИЙ

по высшей математике

Части І — ІІ

 

Учебное пособие

Рекомендовано

Ученым советом ГВУЗ „ДонНТУ”

Протокол № 5 от 22.05.09

Донецк  2009

 

П Р Е Д И С Л О В И Е

В связи с существенным уменьшением аудиторных занятий по высшей математике в технических университетах возникла необходимость компактного изложения программного материала.

Настоящий конспект лекций написан на основе чтения авторами лекций на механическом факультете ДонНТУ, в связи с чем некоторые рас-смотренные вопросы и примеры носят характер приложений к задачам механики. Их количество незначительно и они могут либо совсем не рассматриваться, либо могут быть заменены на соответствующие согласно специальностям. Такие вопросы, а также примеры повышенной трудности отмечены знаком *.

Излагаемый материал в данном пособии, по возможности, имеет вид самостоятельных блоков, т.е. каждая лекция имеет завершенную логическую структуру, например, «Определители», «Кривые второго порядка» и т. д. Это создаёт для студентов более благоприятные условия для повторения пройденного материала, а также для изучения пропущенных лекций.

Курс лекций рассчитан на первые два семестра при лекционной нагрузке 3 часа в неделю. При меньшей нагрузке некоторые темы можно не рассматривать, если они являются не основными для выпускающей кафедрой, либо вынести на самостоятельное изучение. Естественно, некоторые вопросы можно объединять и сокращать. Однако все такие преобразования необходимо выполнять, не нарушая целостность излагаемого материала. В частности, для некоторых экономических специальностей необходимо рассмотреть дополнительные темы: «Общий случай решения систем линейных алгебраических уравнений», «Линейные преобразования», ”Квадратичные формы». Такие темы можно рассмотреть за счет исключения некоторых других тем, например, «Полярная система координат», «Поверхности».

 

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Лекция № 1. Тема 1 : Определители

1.1. Определители второго и третьего порядков

 

Рассмотрим систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

 (1)

Если первое уравнение системы (1) умножить на а22 , второе на а12 и полученные результаты сложить, то получим

Предположим, что выражение в скобках отлично от нуля, тогда находим

 (2)

Аналогично получаем

 (3)

Определение 1. Определителем второго порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из четырех элементов, и определяемое по правилу

 (4)

Здесь   члены определителя, а  элементы определителя.

С учетом определения (4) формулам (2) и (3) можно придать более компактный вид

 где 

Пример 1. Вычислить

Аналогично, рассматривая систему трёх уравнений с тремя неизвестными, приходим к определению определителя третьего порядка.

Определение 2. Определителем третьего порядка называется выражение, заданное в виде квадратной таблицы из девяти элементов, и определяемое по правилу

. (5)

Замечание. Выражение (5) является громоздким. Его запомнить будет проще, если использовать следующую схему вычислений

 

 

Пример 2. Вычислить

1.2. Основные свойства определителей

Все рассмотренные свойства легко проверить непосредственно на примере определителей третьего порядка, хотя они справедливы и в общем случае.

1. При замене столбцов строками с тем же номером (при транспони-ровании) определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы у определителя равноправны.

Таким образом, требуется доказать равенство

2. Определитель, содержащий строку (столбец) из нулей, равен нулю.

Действительно, так как в этом случае каждый член определителя содержит множителем элемент этой строки (или столбца), равный нулю.

3. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

Доказывается непосредственно, как и свойство 1.

4. Определитель, содержащий две равные строки (столбца), равен нулю.

Сделаем перестановку этих строк. Тогда из свойства 3 получим 

5. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя.

Действительно, это можно сделать, так как этот множитель содержится в каждом члене определителя.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбцы) равен нулю.

Доказательство этого свойства следует из свойств 45.

7. Если все элементы строки (столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, каждый из которых имеет строку (столбец) из соответствующих слагаемых элементов.

Например,

Доказывается непосредственно, исходя из определения определителя третьего порядка.

8. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответст-вующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель своего значения не изменит.

Доказательство следует из свойств 67.

1.3. Вычисление определителей

Определение 3. Алгебраическим дополнением  некоторого элемента  данного определителя называется определитель, получаемый при вычеркивании из данного определителя строки и столбца, содержащих этот элемент, и взятый со знаком .

Пример 1. Найти  и  определителя 

Тогда имеет место следующая

Теорема. Пусть в некотором определителе произвольно выбрана строка (столбец). Тогда сумма произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения равна значению определителя.

Например, для строки 

для столбца 

Приведенные формулы легко доказать непосредственно для любых .

Замечание 1. Из теоремы видно, что вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Анало-гично, исходя из этого факта, можно получить определение определителя п-го порядка через определитель (п  1)-го порядка.

Например, для определения определителя 4-го порядка имеет место формула

 (6)

где   определители третьего порядка.

Замечание 2. Используя свойство 8 определителей, можно упростить их вычисление, делая в строке (столбце) все элементы равные нулю, кроме одного.

Пример 3. Вычислить определитель .

1 шаг: Прибавим ко 2-ому столбцу третий столбец;

2 шаг: Прибавим к 4-ому столбцу 3-й столбец, умноженный на 2:

В результате во 2-й строке остался один элемент , неравный нулю.

Воспользуемся формулой (6):