Лекция Способы задания векторов. Деление отрезка в заданном отношении. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 5.

1.4. Способы задания векторов

Вектор может быть задан следующими способами:

1. Координатами вектора 

2. Координатами начальной  z

и конечной  точек.

3. Модулем вектора  и углами M

которые он образует с координатными осями. 

При этом значения   

называются направляющими косинусамиOy

Между этими способами задания  az

векторов существует определённая связь. ax

Например, переход от (2) к (1) xay

осуществляется следующим образом:

так как , то z A

Переход от (3) к (1) и наоборот

осуществляется по формулам: B

 x O y

 

1.5. Деление отрезка в заданном отношении

Рассмотрим следующую задачу: даны две точки  и Требуется найти точку  такую, что отно-шение zА

Построим векторы: М

Из условия коллинеарности векторов

 и  имеем В

Полученное равенство представим в

координатной форме х Оу

или окончательно

 (1)

Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам  

Пример 1. Треугольник задан координатами своих вершин   Найти его центр тяжестиz В

Известно, что центр тяжести треугольника

лежит на пересечении его медиан и, если

точка К  середина стороны ВС, то по А М К

свойству медиан  у

Определим вначале координаты х С

точки К: 

далее по формулам (1) получим координаты точки М:

Тема 2: Скалярное произведение

2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов  и  называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается

 (2)

Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме

 (3)

откуда получим

 

Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если   постоянная сила, а   вектор перемещения, то   работа силы на перемещении 

Из определения скалярного произведения следуют его свойства:

1.   скалярное произведение коммутативно.

2. , если векторы  и  перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.

3. 

Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 4 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:

4. 

Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.

2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы: .

Аналогично получаем: 

Тогда, если

то

 (4)

2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.

Направляющие косинусы

По формулам (2) и (4) получаем

откуда

 (5)

Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует

 (6)

Аналогично получим

 (7)

Если в формуле (7) положить , то найдем

.

Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов

. (8)

Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.

Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство

Пример 2. Даны два вектора  Найти их скалярное произведение и угол между ними.

По формулам (5) и (7) получаем

Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору  и образует угол  с вектором 

Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора  равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений

Из второго уравнения системы получаем   Тогда из первого уравнения имеем . Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению 

Из этого уравнения  и . Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора , удовлетворяющих условию задачи.

    Скачать с Depositfiles