Лекция Введение в анализ функций одной переменной. Функции

    Скачать с Depositfiles 

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Лекция № 13. Тема 1 : Функции

1.1. Определение функции

При изучении определённых процессов реального мира мы встречаемся с характеризующими их величинами, которые меняются во время изучения этих процессов. При этом изменение одной величины сопутствует изменению другой. Например, при прямолинейном равно-мерном движении связь между пройденным путём s, скоростью v и вре-менем t выражается формулой . При заданной скорости v величина пути s зависит от времени t.

В этом случае изменение одной величины (t) произвольно, а другая (s) зависит от первой. Тогда говорят, что задана функциональная зависимость. Дадим математическое обоснование этому понятию.

Пусть заданы два множества X и Y.

Определение. Функцией называется закон или правило, согласно которому каждому элементу  ставится в соответствие единственный элемент , при этом пишут

 или .

Элемент  называется аргументом функции f, а элемент  значением функции. Множество X, при котором функция опреде-лена, называется областью определения функции, а множество Y  областью изменения функции. Эти множества соответственно обозначаются  и .

Примеры функций:

1. Скорость свободного падения тела . Здесь X и Y  множества действительных неотрицательных чисел.

2. Площадь круга . Здесь X и Y  множества положитель-ных действительных чисел.

3. Пусть X  множество студентов группы, т.е.  , а   множество оценок на экзамене. Здесь в качестве функции fрассматривается критерий оценки знаний.

В дальнейшем под множествами X и Y будем подразумевать множества чисел и придерживаться обозначения . Для большей наглядности будем использовать геометрическое представление множеств  и  в виде множества точек на действительной оси. Рассмотрим некоторые наиболее употребительные числовые множества (промежутки):

  отрезок;

  интервал;

  числовая ось (множество действительных чисел);

 или   окрестность точки a.

 а х

Замечание 1. Мы рассмотрели определение однозначной функции. Если же каждому  соответствует по некоторому правилу определённое множество чисел y, то таким правилом определена многозначная функция . Например, .

Примеры. Найти области определения и значений функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Способы задания функции

1. Аналитический способ. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул. Для этого используются уже изученные и специально обозначенные функции и алгебраические действия.

Примеры:

1. .2. .3. .

В дальнейшем будем использовать краткие математические обозначения (кванторы):   для всех, любых;   существует, можно указать.

Напомним некоторые элементы поведения функций. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если  из этого промежутка выполняется неравенство  или  и пишут  или  соответственно. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Функция называется ограниченной на некотором промежутке, если  выполняется условие . В противном случае функция называется неограниченной.

Функция называется четной (нечетной), если она обладает свойством . Остальные функции называются функциями общего вида.

Функция называется периодической с периодом Т, если  выполня-ется условие .

Например, функция  является возрастающей  и убывающей . Функция  является монотонной . Функция ограничена для , так как . Функции:  являются четными, а функции   нечетными. Функция   периодическая с периодом .

Функция может быть задана и уравнением вида

 (1)

Если существует такая функция , что , то уравнение (1) определяет функцию заданную неявно. Например, в приме-ре 2 функция задана неявно, это уравнение определяет много-значную функцию .

Пусть , а , тогда функция  называется сложной функцией или суперпозицией двух функций F и f. Например, в примере 3 функция является суперпозицией двух функций  и .

Если в качестве аргумента рассмотреть переменную у, а в качестве функции – переменную х, то получим функцию, которая называется для однозначной функции обратной и обозначается . Например, для функции  обратной функцией служит  или , если придерживаться общепринятых обозначений аргумента и функции.

Замечание 2. Функция может быть задана и с помощью описания соответствия (описательный способ). Например, поставим в соответствие каждому числу число 1, а каждому  число 0. В результате получим единичную функцию

Следует отметить, что всякая формула является символической записью некоторого описанного соответствия и поэтому различие между заданием функции с помощью формул и описания соответствия чисто внешнее.

Графическое изображение функции также может служить для задания функциональной зависимости.

2. Графический способ. Функция задаётся в виде графика. Примером графического задания функции может служить показания осциллографа.

у

d

Функцию можно задавать с помощью таблиц:

3. Табличный способ. Для некоторых значений переменной x указываются соответствующие значения переменной y. Примерами такого способа заданий являются таблицы значений тригонометрических функ-ций, таблицы, представляющие собой зависимость между измеряемыми величинами и др.

х

х1

х2

x3

xn

у

у1

у2

у3

уn

Для работы на ЭВМ функцию задают алгоритмическим способом.

1.3. Элементарные функции

К основным или простейшим элементарным функциям относятся:

1. Степенная  где .

2. Показательная .

3. Логарифмическая .

4. Тригонометрические: .

5. Обратные тригонометрические:  .

В качестве повторения постройте графики этих функций.

Применяя к этим функциям арифметические действия и операцию суперпозиции конечное число раз, будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными.

Например, .

Иногда полезно использовать так называемые гиперболические функ-ции, которые также относятся к элементарным:

.

Легко непосредственно проверить следующие их свойства:

.

Можно заметить, что эти свойства напоминают свойства тригоно-метрических функций, поэтому они соответственно и называются гипер-болическими синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом.

Остальные функции относятся к так называемым неэлементарным. Примеры неэлементарных функций:

  функция Дирихле;

  целая часть числа, где x  наибольшее целое число, не превосходящее x, например, .