Лекция Пределы

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 14. Тема 2 : Пределы

2.1. Предел последовательности и переменной величины

Определение 1. Значения функции натурального аргумента , где  называются последовательностью, которая обозначается

.

Примеры последовательностей:

1. .

2. . 3. .

Определение 2. Последовательность  называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M(m), что любой элемент xn этой последовательности удовлетворяет неравенству . Если последовательность ограничена сверху и снизу, то она называется ограниченной.

Например, последовательность 1 является возрастающей и ограничен-ной, последовательность 2 возрастающая и ограничена снизу, а после-довательность 3ограничена.

Определение 3. Число а называется пределом последовательности  или пределом переменной величины xn , если  , что и пишут

 или .

Дадим геометрическое представление предела  так как   что выглядит следующим образом

   )

 а х

Таким образом, если а предел последовательности , то , что все ее члены, начиная с некоторого  попадут в эту окрестность.

Пример 1. Покажем, что предел первой последовательности равен 1, т.е. .

Зададим произвольное  и составим неравенство  , т.е. . Тогда номер члена, начиная с которого все члены последовательности попали в окрестность , определится из условия . Например, если , то, начиная с номера , все члены последовательности удовлетворяют неравенству или попали в окрестность .

Определение 4. Переменная xn называется бесконечно большой при , если , что  и при этом пишут

 или , если  и

 или , если .

Пример 2. Покажем, что для второй последовательности .

Зададим  и составим неравенство . Тогда неравенство выполняется , где .

Особое внимание следует уделить замечанию:

Замечание 1. Концептуально такие же определения и свойства имеют место и для любой переменной величины х. Например, число а называ-ется пределом переменной величины х, если , что   и пишут  или , т.е. последовательность пред-ставляет собой переменную величину, значения которой пронумерованы.

Из определения предела последовательности следуют её свойства:

1. Если переменная имеет предел, то он единственный.

2. Предел постоянной равен этой постоянной.

3. Если переменная имеет предел, то она ограничена.

4. Не всякая переменная имеет предел (см. последовательность 3 и задайте ).

5. Монотонная ограниченная переменная имеет предел.

2.2. Предел функции

Пусть функция  определена в некоторой окрестности , за исключением, быть может, самой точки .

Определение 5. Число А называется пределом функции  в точке , если , что  и при этом пишут у

Геометрически это представля- 

ется следующим образом: ,

что А

Упрощенно это определение

можно представить так: 

Число А называется пределом х

функции  при х, стремящимся  а 

к числу а, если точка  приближается к числу А, когда точка х приближается к а.

Пример 3. Покажем, что для функции  .

Зададим произвольное  и определим . Запишем неравенство

.

Существенным понятием, особенно при нахождении пределов функции, являются односторонние пределы.

Определение 6. Число А называется правым (левым) пределом функ-

ции  в точке , если , что   и при этом пишут

 .

Связь между односторонними пределами и пределом функции уста-навливает следующая теорема.

Теорема. Если функция  в точке  имеет предел , то . Верно и обратное.

Из таких же соображений определяется и предел функции при .

Определение 7. Число А называется пределом функции  при , если , что  выполняется неравенство и при этом пишут у

, если  и 

, если .А

Геометрически это выглядит 

следующим образом О М х

что  будет .

Пример 4. Покажем, что для функции  .

Зададим  и определим М. Запишем неравенство

 .

Замечание 2. Иногда удобно использовать другое, эквивалентное опре-деление предела функции:

Число А называется пределом функции  в точке , если .