Первый стандартный предел. Число е.Второй стандартный предел.Сравнение б.м.в.

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 16

2.7. Первый стандартный предел

Теорема. . (1)

Выражение под знаком предела является неопределённостью вида . Раскроем данную неопределённость, C

исходя из геометрических соображений. A

Построим окружность с центром в R

точке  и радиусом R. Выберем

угол х в первой координатной четверти х

и сравним площади трех фигур: AOBО D B

сектор AOB и  СOВ.

Из рисунка видно, что площади

указанных фигур связаны соотношением:

.

Вычислим эти площади:

 

откуда имеем .

С учётом того, что , разделим обе части неравенства на  и получим

 или .

Так как , то на основании теоремы 4 (п.2.5) имеем требуемое равенство (1).

Замечание 1. Правомерность предельного перехода под знаком косинуса будет показана в следующей лекции.

Пример 1.

Пример 2. 

2.8. Число е.

Рассмотрим последовательность . Покажем, что данная последовательность имеет предел.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, полагая .

Из этой формулы следует, что , так как все слагаемые суммы положительные. Покажем, что эта последовательность ограничена.

Таким образом, для  получаем неравенство . Итак, последовательность  возрастает и ограничена сверху, отсюда, по свойству 5 последовательностей (п. 2.1), она имеет предел

,

где е  иррациональное число .

2.9. Второй стандартный предел

Теорема. . (2)

Если , то формула (2) уже доказана. Если , то его значение заключено между двумя положительными целыми числами

 . (3)

Тогда будет выполняться

.

С учетом условия (3), получаем

. (4)

Если  и тогда

Аналогично

Переходя в формуле (4) к пределу при , и учитывая теорему 4 (п.2.5), получаем второй стандартный предел (2).

Замечание 2. Пусть , тогда, с учётом новой переменной , получим

Таким образом, .

Схематично график функции  изображен на рисунке.

у

 

 

 

е

 

1

1 0 х

Замечание 3. Если ввести новую переменную  при , тогда 

Пример 3. .

Пример 4. .

Пример 5.

.

2.10. Сравнение б.м.в.

Пусть  и   б.м.в. при .

Определение 1. Если , то  называется б.м.в. более высокого порядка, чем  при  и пишут .

Пример 6. Пусть , тогда при  получаем

.

Определение 2. Если , то  и  называются б.м.в. одного порядка.

Пример 7. Пусть , тогда при  получаем

  и   б.м.в. одного порядка.

Определение 3. Если , то  и  называются экви-валентными б.м.в. и обозначаются  при .

Из ранее рассмотренных пределов следует таблица эквивалентных б.м.в. при :

;;;

;;,

где последнее соотношение следует из бинома Ньютона, но оно справед-ливо и для 

Легко показать, что предел отношения б.м.в. не изменится при замене их эквивалентными б.м.в., что используется при вычислении пределов.

Пример 8. 

Пример 9.