Лекция Непрерывность. Свойства функций, непрерывных на отрезке

    Скачать с Depositfiles 

Лекция № 17. Тема 3 : Непрерывность

3.1. Определение непрерывной функции

Пусть  определена в некоторой . Близкая к ней другая точка из этой окрестности может быть представлена в виде , где  называется приращением аргумента. у

Разность   

называется приращением функции в 

точке х0. 

Определение 1. Функция  назы-

вается непрерывной в точке х0, если 

она определена в точке х0 и в некоторой х0  х

её окрестности и

. (1)

Преобразуем равенство (1)

откуда следует

. (2)

Так как , то тогда формула (2) прини-мает вид

. (3)

Формула (3) является вторым эквивалентным определением непре-рывности функции  в точке х0, которое можно сформулировать следующим образом :

Определение 2. Функция  называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и некоторой её окрестности, имеет предел при  и этот предел равен значению функции в этой точке.

Определение 3. Функция , непрерывная во всех точках некоторого промежутка называется непрерывной на этом промежутке.

Пример 1. Доказать, что функция  непрерывна в своей области определения.

Имеем , где . Тогда получим

Замечание 1. Аналогично можно доказать, что все основные элемен-тарные функции непрерывны в области своего определения.

3.2. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Непрерывность элементарных функций

Используя теоремы 13 о пределах функции (п.2.5), можно доказать следующие теоремы:

Теорема 1. Сумма конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.

Пусть функции  непрерывны в точке х0 и

.

Тогда имеем

 ч.т.д.

Теорема 2. Произведение конечного числа непрерывных функций является непрерывной функцией.

Доказательство аналогично.

Теорема 3. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией, если знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю.

Доказательство аналогично.

Теорема 4. Пусть функция  непрерывна в точке и0, а функция  непрерывна в точке х0 и пусть . Тогда сложная функция непрерывна в точке х0.

Здесь была использована подстановка  и условие непрерыв-ности функции  в точке х0.

В результате доказательств этих теорем и непрерывности основных элементарных функций приходим к важной обобщающей теореме:

Теорема 5. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения.

3.3. Классификация точек разрыва функции

Определение 4. Если в точке х0 нарушается условие непрерывности функции , то функция называется разрывной в точке х0, а точка х0  точкой разрыва функции.

Определение 5. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции, не равные между собой, т.е..

Схематичный вид функции  в точке разрыва первого рода:

у

0 х0 х

Пример 2. Функции, имеющие разрывы первого рода:

  целая часть числа х.

Определение 6. Точка х0 называется точкой устранимого разрыва, если .

В этом случае полагают  и точка х0 стано-вится точкой непрерывности. Функция  в этой точке имеет вид

 

у

 

 

0 х0 х

Пример 3. Для функции  точка х0 = 0 является точкой устранимого разрыва.

Определение 7. Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Пример 4. Покажем, что функция  в точке х0 = 1 имеет разрыв второго рода.

Пример 5. Покажем, что функция  в точке х0 = 0 имеет разрыв второго рода.

Рассмотрим последовательность :

Как показано в п.2.2 последний предел не существует, т.е. имеем разрыв второго рода.

3.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теоремы, описывающие эти свойства, проиллюстрируем на графиках.

Теорема 1. Если  непрерывна на , то она ограничена на , т.е. .

Теорема 2. Если  непрерывна на , то на  существуют её наибольшее и наименьшее у

значения, т.е.  М

и пишут 

 c

а 0 d b x

M

Теорема 3. Если  непрерывна на  и принимает на концах отрезка неравные значения, то для y

любого промежуточного значения М 

между этими числами существует по М

крайней мере одна точка ,

для которой 

a c b x

Следствие. Если непрерывная на  функция  принимает на концах значения разных знаков, то y

существует по крайней мере одна

точка , в которой a c b x

Этот факт используется для 0

нахождения корней уравнения.