Лекция Пространственные кривые. Задание линии в пространстве. Касательная кривой. длина кривой. Натуральный параметр кривой

    Скачать с Depositfiles 

IІ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ

(лекции №3, 4, 5,практические занятия №2, 3, контр. работа 20 мин.)

 

Контрольные вопросы:

1)Понятие кривой в пространстве. Параметрическое задание кривой.

2)Уравнения касательной в случае параметрического задания кривой и в случае задания кривой, как пересечения двух поверхностей.

3)Длина дуги кривой. Натуральный параметр кривой.

4)Определение 2.1 (Круг, радиус и центр кривизны, кривизна)

5)Определение 2.2 (главная нормаль и формула для её нахождения).

6)Определение 2.3 (бинормаль и формула для её нахождения).

7)Определение 2.4 (плоскостей сопровождающего трёхгранника).

8)Формулы Френе. Кручение.

9)Определение 2.5 (эволюты). Уравнение эволюты.

10)Определение 2.6 (эвольвенты).

 

2.1 ЗАДАНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.

 

Под кривой в пространстве будем понимать множествоГточек в пространстве, заданное, как непрерывный образ некоторого промежутка числовой оси.

Кривую можно задать параметрически:

(2.1)

или как годограф вектор-функции,.

 

2.2 КАСАТЕЛЬНАЯ КРИВОЙ.

 

Кривая называется дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д., если соответственно координатные функции в формуле (2.1) дифференцируемы, непрерывно дифференцируемы, дважды дифференцируемы и т.д.

ПустьГ– дифференцируемая кривая, заданная как годограф вектор-функции;иТогда прямая, являющаяся касательной к годографу вектор – функциив конце радиус – вектора, называется касательной к кривойГ.Поскольку по геометрическому смыслуявляется направляющим вектором касательной, уравнения касательной в точкеМ00,y0,z0)можно записать в виде:

(2.2)

В случае задания кривой уравнениями

x=x,y=f(x),

(здесь роль параметра играет переменнаях), уравнения касательной имеют вид:

(2.3)

Составим уравнение касательной к кривой, заданной, как пересечение двух поверхностей, заданных уравнениями в неявной форме

в точке (x0,y0,z0).

Если параметрическое задание этой кривой имеет вид:x=x(t),y=y(t),z=z(t), то имеем тождества

Дифференцируя эти тождества, получим

Отсюда видно, что вектор касательнойперпендикулярен каждому из векторов, т.е. коллинеарен их векторному произведению

Тогда уравнения касательной в точке (x0,y0,z0) имеют вид

(2.5)

Если на кривой указать положительное направление, соответствующее возрастанию параметраt,то векторназывают касательным вектором ориентированной кривой.

Углом между ориентированными кривыми, пересекающимися в некоторой точке, называется угол между их касательными в этой точке.

Пример 2.1Составить уравнения касательной к винтовой линии:в произвольной точкеtи для.

Решение. Так както уравнение касательной в произвольной точке согласно (2.2) будет иметь вид

.

В частности при:

 

Пример 2.2Составить уравнения касательной к кривой Вивиани:x2+y2+z2=R2,x2+y2=Rxв точкеМ0(R/2,R/2,).

Решение: Кривая Вивиани является линией пересечения поверхностей сферы с центром в начале координат и кругового цилиндра с центром (образующей), смещенным вдоль оси (в данном случае)Охна величину, равную радиусу цилиндра. Диаметр цилиндра равен радиусу сферы.

Запишем уравнения поверхностей в неявном виде

x2+y2+z2R2=0,

x2+y2Rх=0.

Тогдаи согласно (2.2) уравнения касательной в произвольной точке линии будут иметь вид

или

В точкеМ0(R/2,R/2,)уравнение касательной:

 

2.3ДЛИНА КРИВОЙ. НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР КИВОЙ.

 

Рассмотрим дугу непрерывно дифференцируемой кривой

Г: x=x(t), y=y(t), z=z(t),.

В разделе «Определённый интеграл» мы получили формулу для нахождения длины дуги кривой:

(2.6)

Если в качестве параметра выбрана координатах,и криваязадана уравнениями:x=x,y=y(x),z=z(x),,то:

.

При переменном верхнем пределе длина дуги будет переменной величиной:

,отсюда:

.(2.7)

Если параметромtкривой является переменная длина дугиs, то координаты точки М кривой будут зависеть от длины дугиs=АМ:x=x(s),y=y(s),z=z(s)(естественная параметризация).Тогда в формуле (2.7)и, следовательно,, т.е. векторбудет единичным вектором касательной к кривой.

Точка(x(t0),y(t0),z(t0))кривой называется особой, если, и неособой, если.

Для всякой непрерывно дифференцируемой кривой без особых точек существует ее представление, в котором за параметрsвзята переменная длина дуги этой кривой, т.е. натуральнаяпараметризация.

Пример 2.3Найти длину дугиs(t)винтовой линии

x=acost,y=asint,z=bt,.(2.7)

Решение: Касательный векторвинтовой линии равен. Тогда

Пример 2.4Записать натуральную параметризацию винтовой линии.

Решение: Длина дуги линии.ОтсюдаПодставляяtв выраженияx(t),y(t),z(t),получим уравнение винтовой линии в естественной (натуральной) параметризации:

где

 

 

    Скачать с Depositfiles 

I