Лекция Пространственные кривые. Сопровождающий трехгранник кривой. Формулы френе. Эволюта и эвольвента пространственной кривой

    Скачать с Depositfiles 

2.4 СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ.

 

Рассмотрим кривую в натуральной параметризации:

Г:

в окрестности точки. Здесь и далее в скобках приводятся соответствующие формулы для произвольного параметра. Наряду с точкой Морассмотрим ещё две соседних точкиМ1и М2. Выше мы вводили понятие касательной, как предельное положение секущей МоМ1при М1®Мо. Напомним, что вектор

(2.8)

‑единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастания параметраs.

Определение 2.1Кругом кривизны кривой Г в точке Моназывается предельное положение окружности, проходящей через точки Мо, М1и М2при М1®МоиМ2®Мо. Радиус этой окружностиназывается радиусом кривизны, а её центр С – центром кривизны кривой Г в точке Мо.

Заметим, что радиус кривизны вычисляется по формуле

(2.9)

а величина

(2.9’)

называется кривизной кривой Г.

Определение 2.2Главной нормалью кривой Г в точке Моназывается направленная прямая, идущая из точки Мов центр круга кривизны.

Единичный вектор главной нормали находится по формуле:

(2.10)

или(2.10’)

Определение 2.3Бинормалью кривой Г в точке Моназывается направленная прямая, проходящая через точку Мои образующая вместе с положительной касательной и главной нормалью правую тройку, которая называется репером Френе (иногда — сопровождающим трёхгранником).

Единичный вектор бинормали находится по формуле:

(2.11)

или(2.11’)

Определение 2.3Нормальной плоскостью называется плоскость, перпендикулярная касательной. Спрямляющей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная главной нормали. Соприкасающейся плоскостью называется плоскость, перпендикулярная бинормали. Эти три плоскости иногда называют сопровождающим трёхгранником кривой.

 

2.4 ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ

 

Единичные векторы касательной, нормали и бинормали связаны формулами Френе (без доказательства):

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Здесь— кривизна, а величина

(2.15)

или(2.15’)

называется кручением кривой Г в точке М.

Точки, где кривизна кривой равна нулю, называются точками распрямления, а точки, в которых кручение равно нулю, называются точками уплощения.

Для того, чтобы кривая была плоской, необходимо и достаточно, чтобы кручение в каждой её точке было равно нулю.

 

2.4ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ

 

Определение 2.5Эволютойgкривой Г:называется геометрическое место центров кривизны этой кривой.

Для получения уравнения эволютыgзаметим, что, значит уравнение эволютыgимеет вид:(2.17)

 

 

 

 

Определение 2.6Если криваяgявляется эволютой кривой Г, то кривая Г называется эвольвентой кривойg.

 

Пример 2.5Для винтовой линииx=cost,y=sint,z=t, в точке Мо(1, 0, 0) найти:

а) единичные векторы касательной, нормали, бинормали;

б) уравнения касательной, нормали и бинормали;

в) уравнения нормальной, соприкасающееся и спрямляющей плоскостей;

г) кривизну и кручение;

д) составить уравнение эволюты.

Решение.

а) Точке Мо(1, 0, 0) соответствует значение параметраto=0. Найдём производные радиус-вектора в этой точке:

Найдём единичные векторы касательной, главной нормали и бинормали:;

;

;

;

б) Поскольку векторявляется направляющим вектором касательной, вектор— направляющим вектором главной нормали, а вектор— бинормали, запишем для точки Мо(1, 0, 0) канонические уравнения касательной:

,главной нормали:

и бинормали:.

в) Нормальная плоскость проходит через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно вектору касательной, её уравнение:.

Соприкасающаяся плоскость проходит через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно вектору бинормали, её уравнение:.

Спрямляющая плоскость проходит через точку Мо(1, 0, 0) перпендикулярно вектору нормали, её уравнение:.

г) Кривизна по формуле (2.9’):,.

Кручение найдём по формуле (2.15’):.

д) Уравнение эволюты найдём по формуле (2.17):.

Здесь;.

Найдём,,

,

.

Отсюда следует, что кривизна и кручение в точках винтовой линии имеют постоянное значение,.

Подставим найденное в формулу (2.17):

,

т.е. эволютой винтовой линии будет так же винтовая линия, но повёрнутая вокруг осиOzна 180°.

 

    Скачать с Depositfiles