Лекция Плоские кривые. Способы задания плоской кривой.Длина плоской кривой. Касательная и нормаль к кривой. Кривизна кривой. Эволюта и эвольвента

    Скачать с Depositfiles 

III. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ.

(лекции 6‑7)

Контрольные вопросы:

1. Способы задания плоских кривых.

2. Уравнения касательной и нормали.

3. Формулы для нахождения единичного вектора нормали и кривизны.

4. Уравнение эволюты.

3.1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Кривая, у которой кручение в каждой точке равно нулю, располагается в плоскости и поэтому называется плоской. В качестве такой плоскости выбирают плоскость хОу.

Геометрию плоских кривых можно получить как частный случай геометрии кривых в пространстве, но при таком подходе могут ускользнуть многие своеобразные их особенности. В связи с этим теория плоских кривых строится независимо от теории кривых в пространстве.

Кривую на плоскости можно задать уравнениями различных видов, наиболее распространенными из которых являются:

а) векторное уравнение , (3.1)

б) векторно-параметрическое уравнение (3.2)

в) координатно-параметрические уравнения

x=x(t), y=y(t), (3.3)

г) уравнение в несимметричной форме

y=f(x)(3.4)

или(3.5)

Заметим, что присоединив к уравнению (3.4) тождество х=х, получим параметрические уравнения х=х, y=f(x). Они отличаются от уравнений (3.3) тем, что за параметр принята абсцисса точка кривой.

д) уравнение в симметричной форме F(x,y)=0(3.6)

В частности, если какая-либо точка кривой не является особой (т.е. отлична от нуля по крайней мере одна из производных в этой точке), то в ее окрестности уравнение (3.6) можно разрешить или относительно у (при ), и тогда получим уравнение (3.4), или относительно х (при ), тогда получим уравнение (3.5).

3.2 ДЛИНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ.

Длиной кривой называется верхняя грань всех возможных ломаных, вписанных в данную кривую. В частности, если кривая задана векторно-параметрическим уравнением  и функция  непрерывна вместе со своей производной  на , то она спрямляема.

а) Длина кривой в прямоугольных координатах.

Если плоская кривая задана уравнением , где функция  непрерывна вместе со своей производной на [a,b], то она спрямляема и ее длина выражается формулой

(3.7)

Если кривая задана параметрическими уравнениями и функции  непрерывно дифференцируемы на [T1T2], то ее длина выражается формулой:

(3.8)

б) Длина кривой в полярных координатах.

Если кривая задана в полярных координатах уравнением  и функция  непрерывна вместе со своей производной  на , то ее длина выражается формулой

(3.9)

Пример 3.1 Найти длину полукубической параболы ay2=x3aх=0 до х=5а.

Решение: Из уравнений кривой следует, что полукубическая парабола симметрична относительно оси абсцисс (замена у= ‑у не изменяет уравнения) и расположена в правой полуплоскости координатной полуплоскости хОу (х не может быть отрицательным). Вычислим длину одной ветви кривой ОА.

Из уравнения кривой находим .

По формуле (3.7) получим:

.

Длина кривой  равна S=670а/27.

Пример 3.2 Вычислить длину кардиоиды .

Решение: Однозначная ветвь функции r соответствует изменению параметра  в промежутке , при этом кривая симметрична относительно полярной оси. При изменении  от 0 до  полярный радиус r опишет половину кривой. Половину длины кардиоиды найдем, используя формулу (3.9):

Длина всей кардиоиды S=8a.

3.3 КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К КРИВОЙ.

Единичный вектор направленной касательной, как мы показали выше (1.7), находится как орт производной радиус-вектора:.

На практике иногда удобнее в качестве направляющего вектора касательной брать вектор  (или любой ему коллинеарный вектор) и уравнение касательной в точке записать в виде:

(3.10)

или . (3.11)

В качестве направляющего вектора нормали можно взять единичный вектор главной нормали , или, что на практике гораздо проще, вектор, ортогональный вектору , тогда уравнение нормали будет иметь вид:

(3.12)

или . (3.13)

Если кривая задана уравнением в несимметричной форме (3.4), то касательная и нормаль соответственно имеют уравнения

(3.14)

(3.15)

г) Если кривая задана уравнением в симметричной форме (3.6), то касательная и нормаль соответственно имеют уравнения

(3.16)

(3.17)

Пример 3.3 Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=x3-2 в точке А(2,3).

Решение: Используем уравнение касательной (3.14) и нормали для кривой, заданной в несимметричной форме. Запишем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку А(2,3): y-3=k(x-2),

где k – угловой коэффициент прямой (в данном случае произвольный параметр). Для определения k, соответствующего касательной и нормали к кривой, найдем производную  при х=2: 

Следовательно, для касательной k=12, для нормали k= ‑ 1/12. Подставляя эти значения в уравнение пучка прямых, получим уравнение касательной

y-3=12(x-2) или y=12x-21, уравнение нормали

.

Пример 3.4 Составить уравнение касательной и нормали к декартовому листу х33-3аху=0, а>0 (рис.9) в точке А (3а/2;3а/2).

Решение. Используем уравнения касательной (3.16) и нормали (3.17) для кривой заданной в симметричной форме. Записав исходное уравнение в виде F(x,y)=0, найдем:

Подставляя значения производных  в уравнение касательной 

и нормали: ,

получим уравнение касательной у=3а-х, и уравнение нормали у=х.

3.4 КРИВИЗНА КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА КРИВОЙ.

Если кривая задана уравнением у=у(х), то ее кривизна определяется по формуле:

(3.18)

В случае векторно-параметрического задания кривой 

(3.19)

Радиус кривизны в данной точке:

(3.20)

Всякая прямая, проходящая через точку кривой и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке. Вектор нормали к кривой, направленный в сторону центра кривизны и указывающий направление, в котором кривая в окрестности рассматриваемой точки отклоняется от своей касательной, называется вектором главной нормали. Множество центров кривизны кривой образуют ее эволюту. В случае векторно-параметрического задания кривой уравнение эволюты имеет вид (2.17): , и координаты центра кривизны  определяются формулами:

(3.21)

Если кривая задана уравнением y=f(x), то

(3.22)

Исходная кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Пример 3.5 Найти кривизну и радиус кривизны параболы у=х2 в произвольной точке х.

Решение: Кривизну параболы найдем, подставляя  в (3.18):

Эта величина принимает наибольшее значение при х=0, для которого k=2. Радиус кривизны связан с кривизной соотношением (3.20), поэтому

Наименьший радиус кривизны  в точке (0,0).

Пример 3.6 Найти радиус кривизны и эволюту эллипса .

Решение: Представим уравнение эллипса в параметрическом виде:

Подставляя  в формулы (3.19) и (3.20), получим

.

Уравнение эволюты найдем по формуле (3.21):

Таким образом, эволютой эллипса является астроида.

 

    Скачать с Depositfiles