Конспект лекций по высшей математике Введение в дифференциальную геометрию 4

 Скачать с Depositfiles 

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО РАЗДЕЛУ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

                                       «ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ»

для студентов направления подготовки 0709

«Геодезия, картография и землеустройство»

Составитель: доц. Абдулин Р.Н.

 

4. ПОВЕРХНОСТИ

4.1 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Поверхность в трёхмерном пространстве может быть задана:

1) неявно: F(x,y,z)=0 (4.1)

2) явно: z =f(x,y)(4.2)

3) параметрически: (4.3)

или: (4.3’)

где скалярные аргументы  иногда называют криволинейными координатами. Например, сферу  удобно задавать в сферических координатах:.

4.2 КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.

Если линия  лежит на поверхности (4.1), то координаты её точек удовлетворяют уравнению поверхности:

, дифференцируя это тождество, получим:

(4.4)

или (4.4’)

в каждой точке кривой на поверхности. Таким образом, вектор градиента  в неособых точках поверхности (в которых функция (4.5) дифференцируема и ) перпендикулярен касательным векторам к любым линиям на поверхности, т.е может быть использован в качестве вектора нормали для составления уравнения касательной плоскости в точке М0(x0,y0,z0) поверхности

(4.6)

и в качестве направляющего вектора в уравнении нормали:

(4.7)

В случае явного (4.2) задания поверхности уравнения касательной плоскости и нормали соответственно примут вид:

(4.8)

и(4.9)

При параметрическом представлении поверхности (4.3) векторы  лежат в касательной плоскости и уравнение касательной плоскости может быть записано в виде:

(4.10)

а в качестве направляющего вектора нормали может быть принято их векторное произведение:

,

и уравнение нормали может быть записано в виде:

(4.11)

где  — значения параметров соответствующие точке М0.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь таких точек поверхности, где векторы

не равны нулю и не параллельны.

Пример 4.1 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке М0(1,1,2) к поверхности параболоида вращения .

Решение: Так как уравнение параболоида задано в явном виде, то согласно (4.8) и (4.9) нужно найти  в точке М0:

, а в точке М0 . Тогда уравнение касательной плоскости в точке М0 примет вид:

2(x-1)+2(y-1)-(z-2)=0 или 2x+2y – z ‑ 2=0, а уравнение нормали .

Пример 4.2 Составить уравнения касательной плоскости и нормали в произвольной точке геликоида .

Решение. Здесь ,

Уравнение касательной плоскости:

 или

,

Уравнения нормали:

.

4.3 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

Если поверхность задается уравнением

 то кривая  на ней может быть задана уравнением (4.12)

Дифференциал радиус-вектора  вдоль кривой, отвечающий смещению из точки М0 в близлежащую точку М, равен

(4.13)

Так как  — дифференциал дуги кривой, отвечающий тому же смещению), то

(4.14)

где .

Выражение в правой части (4.14) называется первой квадратичной формой поверхности и играет в теории поверхностей огромную роль.

Интегрирую дифференциал ds в пределах от t0 (соответствует точке М0) до t (соответствует точке М), получим длину соответствующего отрезка кривой

(4.15)

Зная первую квадратичную форму поверхности, можно находить не только длины, но и углы между кривыми.

Если dudv— дифференциалы криволинейных координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кривой, а  — по другой, то с учетом (4.13):

(4.16)

С помощью формулы

(4.17)

первая квадратичная форма дает возможность вычислить площадь области  поверхности.

Пример 4.3 На геликоиде  найти длину винтовой линии  между двумя точками .

Решение. Поскольку на винтовой линии , то . Найдём в точке первую квадратичную форму. Обозначив  и v=tполучим уравнение данной винтовой линии в виде . Квадратичная форма:

=

=

= ‑ первая квадратичная форма.

Здесь . В формуле (4.15) в данном случае  и длина дуги:

=

4.4 ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

Обозначим  ‑ единичный вектор нормали к поверхности :

(4.18)

Тогда правая часть равенства :

(4.19)

называется второй квадратичной формой поверхности

Пусть на поверхности  задана некоторая кривая , определяющая в точке Мо направление . Плоскость, проходящая через точку Мо параллельно векторам  и , определяет некоторую кривую, называемую нормальным сечением в направлении .

Кривизна нормального сечения в точке Мо находится по формуле

(4.20)

Для любой точки Мо на поверхности имеет место один из двух случаев:

  1. кривизна всех нормальных сечений одинакова (сферическая точка);

  2. Существуют два ортогональных направления (главные направления), для которых  имеет наибольшее и наименьшее значения ( и )

Величины  и  называются главными кривизнами поверхности в точке Мо. Главные направления  определяются из условия экстремума для кривизны (4.20):

(4.21)

Если нормальное сечение образует угол  с первым главным направлением, то для кривизны этого сечения имеет место формула Эйлера

(4.22)

Величина  называется гауссовой кривизной поверхности, а  – средней кривизной. Справедливы следующие соотношения

(4.23)

Линия на поверхности называется линией кривизны, если ее направление в каждой точке является главным направлением.

4.6 ПОНЯТИЕ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЯХ НА ПОВЕРХНОСТИ.

Определение 4.1. Кривая на поверхности называется геодезической, если ее главная нормаль  в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, совпадает с нормалью  к поверхности.

Через каждую точку поверхности в любом направлении проходит, и при том только одна геодезическая. На сфере, например, геодезическими являются большие круги.

Параметризация поверхности называется полугеодезической, если одно семейство координатных линий состоит из геодезических, а второе ему ортогонально. Например, на сфере меридианы (геодезические) и параллели.

Геодезическая на достаточно малом отрезке является кратчайшей среди всех близких к ней кривых, соединяющих те же точки.

Литература

1.Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. «Наука», 1969

2. Рашевский П.Е. Дифференциальная геометрия. «Физматгиз», 1956

3. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. «Мир»,1970


Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Сайт для студентов
Adblock
detector